[論文レビュー] Realizability and inscribability for some simplicial spheres and matroid polytopes

Moritz Firsching|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形最適化技術を用いてマトロイドポリトープおよび単体的球面を実現・内接させることに成功し、11頂点をもつネイバー型4次元、6次元、7次元ポリトープ、10頂点をもつネイバー型5次元ポリトープ、10頂点をもつ単体的3次元球面の、ポリトープ的および非ポリトープ的タイプへの完全分類を達成した。多くの実現可能なポリトープが内接可能であることも判明した。

ABSTRACT

We show that non-linear optimization techniques can successfully be applied to realize and to inscribe matroid polytopes and simplicial spheres. Thus we obtain a variety of results, which include a complete classification of neighborly polytopes of dimension 4, 6 and 7 with 11 vertices, of neighborly 5-polytopes with 10 vertices, as well as a complete classification of simplicial 3-spheres with 10 vertices into polytopal and non-polytopal spheres. Surprisingly many of the realizable polytopes are also inscribable.

研究の動機と目的

• マトロイドポリトープおよび単体的球面が非線形最適化を用いて凸ポリトープとして実現可能かどうかを同定すること。
• 特に4次元、5次元、6次元、7次元における特定の次元および頂点数をもつネイバー型ポリトープを分類すること。
• 10頂点をもつ単体的3次元球面がポリトープ的か非ポリトープ的かを区別すること。
• 実現可能なポリトープの内接可能性、特にネイバー型構成から生じるものの検討を行うこと。

提案手法

• マトロイドポリトープおよび単体的球面の実現可能性問題を解くために非線形最適化を用いる。
• 与えられた組合せ的球面またはマトロイドポリトープがユークリッド空間内に凸ポリトープとして埋め込めるかどうかを最適化でテストする。
• 同じフレームワークを用いて内接可能性（すべての頂点が球面上に配置できるかどうか）をテストする。
• 実現および内接の非線形制約を扱うために、計算代数幾何学および数値続行法を活用する。
• 低次元におけるネイバー型構成を体系的に分析し、完全な分類を達成する。
• 実現可能性および内接可能性条件の計算的検証を通じて、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 10頂点をもつ単体的3次元球面の中で、どれがポリトープ的で、どれが非ポリトープ的か？
• RQ2 10頂点をもつネイバー型5次元ポリトープの完全な分類は何か？
• RQ3 11頂点をもつネイバー型4次元、6次元、7次元ポリトープはそれぞれいくつ存在し、そのうちどれが実現可能か？
• RQ4 実現可能なネイバー型ポリトープのどの程度が内接可能であるか？
• RQ5 非線形最適化は、マトロイドポリトープおよび単体的球面の実現可能性および内接可能性を効果的に解けるか？

主な発見

• 11頂点をもつネイバー型4次元、6次元、7次元ポリトープの完全な分類が非線形最適化を用いて達成された。