[論文レビュー] Realizability Interpretation and Normalization of Typed Call-by-Need $$\\lambda$$-calculus With Control

Étienne Miquey, Hugo Herbelin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Ariola らが定義した、制御を備えた単純型付き、呼び出し順序が必要に応じて評価される（call-by-need）$\lambda$-計算の正規化を示すために、実装者（realizers）を閉包（項と置換のペア）とするKrivine実現可能性の変種を導入する。主な貢献は、呼び出し順序が必要に応じて評価される評価戦略における遅延置換を扱える実現可能性解釈を提供することであり、第一および第二順序の型付きシステムの両方の正規化証明を可能にし、従って従来の第二順序算術に依存選択公理を加えた体系の正規化への基盤を築く。

ABSTRACT

We define a variant of realizability where realizers are pairs of a term and a substitution. This variant allows us to prove the normalization of a simply-typed call-by-need $$\\lambda$-$calculus with control due to Ariola et al. Indeed, in such call-by-need calculus, substitutions have to be delayed until knowing if an argument is really needed. In a second step, we extend the proof to a call-by-need $$\\lambda$$-calculus equipped with a type system equivalent to classical second-order predicate logic, representing one step towards proving the normalization of the call-by-need classical second-order arithmetic introduced by the second author to provide a proof-as-program interpretation of the axiom of dependent choice.

研究の動機と目的

• 呼び出し順序が必要に応じて評価される$\lambda$-計算に制御を加えた体系に対して、実現可能性に基づく正規化証明が存在しないという問題を解決すること、特に遅延置換の困難さに起因する。
• Krivine実現可能性を閉包（項と置換のペア）を扱えるように拡張することで、呼び出し順序が必要に応じて評価される評価戦略をモデル化できるようにすること。
• 制御を備えた単純型付き呼び出し順序が必要に応じて評価される$\lambda$-計算の正規化を証明し、第一および第二順序の量化へとその結果を拡張すること。
• $\text{dPA}^\omega$ の実現可能性解釈の基盤を築くこと、これは依存選択公理を加えた古典的第二順序算術のための呼び出し順序が必要に応じて評価される計算体系である。
• 実現可能性技法が古典的証明系における遅延評価および共有メモリモデルに適応可能であることを示すこと。

提案手法

• 実装者を、原始的な項ではなく、項と置換のペアである閉包とするKrivine実現可能性の変種を導入する。
• 置換を明示的に追跡する実現可能性解釈を定義し、呼び出し順序が必要に応じて評価される評価における遅延置換を可能にする。
• 型を、正規化および型付け制約を満たす閉包の集合として解釈する実現可能性モデルを構築する。
• ${\overline{\lambda}_{[lv\tau\star]}}$-計算に関して、この閉包に基づく実現可能性枠組みを用いて、主題還元および強い正規化を証明する。
• すべての有効なインスタンスにおける交差積として解釈することで、第一および第二順序の全称量化を扱う解釈を拡張する。
• この枠組みを用いて継続とストアを渡すスタイル（continuation-and-store passing style）の翻訳を型付けし、Kripke的強制によるストアの拡張性を反映する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Krivine実現可能性は、呼び出し順序が必要に応じて評価される評価に内在する遅延置換のパターンをどのように扱えるように拡張できるか？
• RQ2 制御を備えた型付き呼び出し順序が必要に応じて評価される$\lambda$-計算に対して、正規化を保証する実現可能性解釈を構築できるか？
• RQ3 閉包に基づく実現可能性モデルは、古典論理と整合的である形で、第一および第二順序の量化を両方とも扱えるか？
• RQ4 この枠組みを用いて、古典的第二順序算術のための呼び出し順序が必要に応じて評価される計算体系$\text{dPA}^\omega$ の正規化を証明できるか？
• RQ5 この実現可能性モデルは、Ariola らやChang-Felleisenらが提示した呼び出し順序が必要に応じて評価される計算体系の他の表現とどのような関係にあるか？

主な発見

• 本稿では、閉包に基づく実現可能性解釈を用いて、単純型付き${\overline{\lambda}_{[lv\tau\star]}}$-計算の正規化が成功裏に証明された。
• 実現可能性モデルは置換を明示的に扱うため、置換が必要なまで延期される呼び出し順序が必要に応じて評価される評価に適している。
• この枠組みは自然に第一および第二順序の量化へと拡張可能であり、全称量化子をすべての有効なインスタンスにおける交差積として解釈する。
• この方法により、依存選択公理を遅延評価を介して実現するように設計された$\text{dPA}^\omega$ の正規化の証明の基盤が提供される。
• このアプローチにより、制御、遅延評価、共有メモリを用いた古典的証明の計算的解釈が可能となり、Curry-Howard原則と整合的である。
• 閉包に基づく実現可能性モデルは、継続とストアを渡すスタイルの翻訳と互換性があり、Kripke的型付けによりストアの拡張性が反映される。