[論文レビュー] Realizations of Rigid C*-Tensor Categories as Bimodules over GJS C*-Algebras

Hartglass, Michael, Palomares, Roberto Hernandez|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単位が単純な可算生成リジッドC*-テンソルカテゴリから、単位的で単純かつ分離可能で正確なC*-代数上の有限生成射影ヒルベルトC*-バイモジュールの圏への、完全かつ忠実で双対的かつ強いモノイダル関手を構成する。この構成はGJS構成を用い、カテゴリの構造からC*-代数$ B_0 $を構築し、$ B_0 $の$ K_0 $群がカテゴリ内の単純対象の類によって自由に生成されることを保証する。これにより、カテゴリはトレースに適合する構造を持つC*-代数上のバイモジュールとして実現される。

ABSTRACT

Given an arbitrary countably generated rigid C*-tensor category, we construct a fully-faithful bi-involutive strong monoidal functor onto a subcategory of finitely generated projective bimodules over a simple, exact, separable, unital C*-algebra with unique trace. The C*-algebras involved are built from the category using the GJS-construction introduced in arXiv:0911.4728 and further studied in arXiv:1208.5505 and arXiv:1401.2486. Out of this category of Hilbert C*-bimodules, we construct a fully-faithful bi-involutive strong monoidal functor into the category of bi-finite spherical bimodules over an interpolated free group factor. The composite of these two functors recovers the functor constructed in arXiv:1208.5505

研究の動機と目的

• 可算生成リジッドC*-テンソルカテゴリが単位が単純である場合、それが分離可能で単位的C*-代数上の有限生成射影バイモジュールの部分カテゴリとして完全に実現可能かどうかを解明すること。
• GJS構成を用いてそのような実現を構成すること。GJS構成は、カテゴリの自己準同型代数と対称的自己双対対象からC*-代数$ B_0 $を構築する。
• $ B_0 $の$ K_0 $群がカテゴリ内の単純対象の類によって生成される自由アーベル群に同型であることを保証すること。
• 関手による単純対象の像が、$ K_0(B_0) $の標準的生成子に正確に対応することを確立すること。
• 可算生成カテゴリへの一般化を、生成子の自由積構成を用いて行うこと。

提案手法

• カテゴリ$ \mathsf{C} $における量子次元$ \delta_x > 1 $である対称的自己双対対象$ x $を出発点とし、$ \mathsf{C}(x^{\otimes n}) $の自己準同型代数から、$ A_\infty $という階数付きC*-代数を構成する。
• ヒルベルト$ A_\infty $-加群$ X_1 $を構成し、$ \mathcal{F}(X_1) $（完全なフォック空間）の実ベクトルから生成される生成・消滅作用素が、$ B_\infty $を生成する。$ B_\infty $は忠実な条件付き期待値とトレース重み$ \operatorname{Tr} $を持つボイクルツ半円系である。
• $ n \geq 0 $に対して、$ B_\infty $のコーナー$ B_n \subset B_\infty $を定義する。各$ B_n $は単位的で分離可能かつ単純であり、一意なトレース$ \operatorname{tr}_{B_n} = \operatorname{Tr}|_{B_n} $を備える。
• $ B_0 $は$ B_\infty $内のオフコーナー$ {}_lB_r $に、乗法により作用し、有界作用を保証することでバイモジュール$ {}_0B_r $の構成を可能にする。
• $ B_0 $上でのコンネスのバイモジュールの融合$ {}_0B_n \mathbin{\mathop{\boxtimes}_{B_0}} {}_0B_m $が$ {}_0B_{n+m} $に同型であることを示し、融合構造を単純化する。
• 関手$ \mathbb{F} $は、$ \mathsf{C}_x $の対象$ p $をバイモジュール$ \mathbb{F}(p)[{}_0B_n] $に写像し、射はテンソル積と縦・横合成を介して写像され、完全忠実性と強いモノイダル構造が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算生成リジッドC*-テンソルカテゴリが単位が単純である場合、それが分離可能で単位的C*-代数上の有限生成射影バイモジュールの部分カテゴリとして完全かつ忠実に実現可能かどうか。
• RQ2 GJS構成を用いてそのような実現を構築可能かどうか。GJS構成は図式的カテゴリとフォック空間構成からC*-代数を構築する。
• RQ3 $ B_0 $の$ K_0 $群がカテゴリの構造を自然に反映しており、生成子が単純対象に対応するかどうか。
• RQ4 生成子の自由積を用いて、単一生成から可算生成カテゴリへの一般化が可能かどうか。
• RQ5 $ B_\infty $-ツリーとそのコーナーが、$ B_0 $上での有界かつトレース適合バイモジュール作用を可能にする役割は何か。

主な発見

• 任意の単位が単純な可算生成リジッドC*-テンソルカテゴリ$ \mathsf{C} $に対して、完全かつ忠実で双対的かつ強いモノイダル関手$ \mathbb{F}: \mathsf{C} \hookrightarrow \mathsf{Bim}_{\mathsf{fgp}}^{\mathsf{tr}}(B_0) $が存在する。ここで$ B_0 $は単位的で単純かつ分離可能で正確なC*-代数であり、一意なトレースを備える。
• $ B_0 $の$ K_0 $群は、$ \mathsf{C} $内の単純対象の類によって生成される自由アーベル群に同型であり、関手$ \mathbb{F} $による各単純対象の像は$ K_0(B_0) $の標準的生成子に一致する。
• 単一生成カテゴリ$ \mathsf{C}_x $に対して、関手$ \mathbb{F} $は生成子$ x $をバイモジュール$ {}_0B_1 $に写像し、コンネスの融合により$ {}_0B_n \mathbin{\mathop{\boxtimes}_{B_0}} {}_0B_m \cong {}_0B_{n+m} $の融合則が成立する。
• 生成子の自由積$ x_1, x_2, \dots $を用いて可算生成カテゴリに一般化する。新しいカテゴリ$ \mathsf{C} $を構成し、$ \mathsf{C} $に対して同じ$ B_0 $構成を適用する。
• 得られる$ B_0 $は分離可能で単純かつ単位的で正確であり、一意なトレースを備える。$ B_0 $-バイモジュールはGJS構成とフォック空間形式主義を用いて構成される。
• この結果により、一意なトレースを備える単一の分離可能C*-代数がすべてのリジッドC*-テンソルカテゴリを実現できるとは限らないが、カテゴリに依存するC*-代数を許容すればそのような実現は可能であることが確認された。