[論文レビュー] Realizing the Quantum Hall System in String Theory

Simeon Hellerman, Leonard Susskind|ArXiv.org|Jul 23, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、量子ホール系の状態における充填分数 $\nu = 1/(k+1)$ を記述する非可換チャーン・シンコス行列理論のブレイン実現を提案する。$k$ 個のバックグラウンド D8-ブレインを伴う剛体的 D4-ブレイン膜を用い、正しいレベル $k$ のチャーン・シンコス項を誘導する。D6-ブレインの通過によりラウフリン準粒子空孔励起状態が実現され、ハンアニー・ウィッテン効果が確認され、行列模型におけるゼロ点量子揺らぎによって $k \to k+1$ のレベルシフトが解消される。

ABSTRACT

In a recent paper Bernevig, Brodie, Susskind and Toumbas constructed a brane realization of the Quantum Hall fluid. Since then it has been realized that the Quantum Hall system is very closely related to non--commutative Chern Simons theory and this suggests alternative brane constructions which we believe are more reliable and clear. In this paper a brane construction is given for the non--commutative Chern Simons Matrix formulation of the Quantum Hall system as described by in recent papers by Susskind, Polychronakos and by Hellerman and Van Raamsdonk. The system is a generalized version of Berkooz's ``Rigid Light Cone Membrane which occurs as an excition of the DLCQ description of the M5--brane in a background 3--form field. The original construction of Berkooz corresponds to the fully filled $ν=1$ state of the QH system. To change the filling fraction to $ν= 1/(k+1)$ a system of $k$ background D8-branes is required. Quasi--hole excitations can be generated by passing a D6-brane though the Rigid Membrane.

研究の動機と目的

• 非可換チャーン・シンコス行列理論による、充填分数 $\nu = 1/(k+1)$ の量子ホール系を記述する、信頼性のあるブレイン構成を提供すること。
• 行列模型におけるゼロ点量子揺らぎから導かれる $k \to k+1$ シフトを用いて、レベルと充填分数の関係における不一致を解消すること。
• D6-ブレインが膜を通過する際のハンアニー・ウィッテン効果を用いて、準粒子空孔励起状態を実現すること。
• 行列模型のガウス則制約と、タイプ IIA超弦理論におけるブレイン誘導によるチャーン・シンコス項との直接的対応を確立すること。

提案手法

• 充填分数 $\nu = 1/(k+1)$ の状態を実現するため、ベルクーツの剛体的光錐膜の一般化版を、$k$ 個のバックグラウンド D8-ブレインを伴う D4-ブレインとして構築する。
• 無限次元行列理論を正則化するため、$N \times N$ ヘルミート行列 $X^i$、$A_0$ および追加の $\psi_n$ 振動子を用いた行列正則化を行う。
• 境界クーラント $Nk$ と $SU(N)$ 不変性を強制するために、ガウス則制約 $[X^1, X^2] = i\theta(I - \frac{1}{k+1}\psi\psi^\dagger)$ を実装する。
• 面積演算子 $\text{Area} = \frac{2\pi}{N} \text{Tr}(X)^2$ を導出し、その期待値が $\text{Area} = \frac{2\pi}{B}(k+1)N$ となることを示し、$\nu = 1/(k+1)$ を確認する。
• マスのついた IIA スーパー重力理論における D0-ブレインおよび D2-ブレイン項を介して、ハンアニー・ウィッテン効果を用いてチャーン・シンコス項を実現する。各 D0-ブレインに対して $k$ 個のストリングが生成されることを示す。
• D6-ブレインを膜を通過させることで準粒子空孔励起状態をモデル化する。これによりハンアニー・ウィッテン効果によって膜上にストリングの端が生成され、ラウフリン準粒子空孔状態と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換チャーン・シンコス行列理論による量子ホール系を、ブレイン構成を用いて超弦理論でどのように実現できるか？
• RQ2 レベルと充填分数の関係における $k \to k+1$ シフトの起源は何か？ また、行列模型における量子揺らぎからどのように導出できるか？
• RQ3 D6-ブレインは、量子ホール系のブレイン実現においてどのように準粒子空孔励起状態を実現するか？
• RQ4 D8-ブレインは、D4-ブレイン膜上に正しいチャーン・シンコスレベル $k$ をどのように誘導するか？

主な発見

• 行列模型のガウス則制約 $[X^1, X^2] = i\theta(I - \frac{1}{k+1}\psi\psi^\dagger)$ は、正確に $Nk$ 個の境界クーラントを強制し、ラウフリン状態における磁束量子数と一致する。
• 量子ホールドロップレットの面積は $\text{Area} = \frac{2\pi}{B}(k+1)N$ であると判明し、これにより充填分数 $\nu = 1/(k+1)$ が得られ、$k \to k+1$ のシフトが解消される。
• $N^2$ 個の振動子のゼロ点量子揺らぎが、$\text{Tr}(X)^2$ に $\frac{1}{2}N^2$ 項を寄与させ、これがレベルと充填分数の関係における $k \to k+1$ シフトの起源である。
• D6-ブレインが剛体的膜を通過することで、D4-ブレイン上にストリングの端が生成され、分数電荷 $\nu = 1/(k+1)$ のラウフリン準粒子空孔状態が実現される。これはハンアニー・ウィッテン効果と整合的である。
• D8-ブレイン $k$ 個が D4-ブレイン膜上に誘導するチャーン・シンコス項はレベル $k$ を与え、非可換チャーン・シンコス理論のレベル $k$ と一致する。
• D4-ブレイン上に存在する $N$ 個の D0-ブレインの全系は、$kN$ 個の基本ストリングがその上に端をもつことが判明し、行列模型から得られる $Nk$ 個の境界クーラントを確認する。