[論文レビュー] Reasoning with !-Graphs

Alexander Merry|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、!-ボックスを用いて無限個のグラフや書き換え規則の族を有限に表現できるように拡張した!-グラフを導入する。グラフに基づく帰納法と等式論理を形式化し、特に可換フロベニウス代数を用いた量子図式の推論において、厳密な帰納的証明を可能にする。

ABSTRACT

The aim of this thesis is to present an extension to the string graphs of Dixon, Duncan and Kissinger that allows the finite representation of certain infinite families of graphs and graph rewrite rules, and to demonstrate that a logic can be built on this to allow the formalisation of inductive proofs in the string diagrams of compact closed and traced symmetric monoidal categories. String diagrams provide an intuitive method for reasoning about monoidal categories. However, this does not negate the ability for those using them to make mistakes in proofs. To this end, there is a project (Quantomatic) to build a proof assistant for string diagrams, at least for those based on categories with a notion of trace. The development of string graphs has provided a combinatorial formalisation of string diagrams, laying the foundations for this project. The prevalence of commutative Frobenius algebras (CFAs) in quantum information theory, a major application area of these diagrams, has led to the use of variable-arity nodes as a shorthand for normalised networks of Frobenius algebra morphisms, so-called "spider notation". This notation greatly eases reasoning with CFAs, but string graphs are inadequate to properly encode this reasoning. This dissertation extends string graphs to allow for variable-arity nodes to be represented at all, and then introduces !-box notation (and structures to encode it) to represent string graph equations containing repeated subgraphs, where the number of repetitions is abitrary. It then demonstrates how we can reason directly about !-graphs, viewed as (typically infinite) families of string graphs. Of particular note is the presentation of a form of graph-based induction, allowing the formal encoding of proofs that previously could only be represented as a mix of string diagrams and explanatory text.

研究の動機と目的

• ストリンググラフを拡張し、変数のアリティを持つノードおよび無限個のグラフ族をサポートすること。
• グラフ書き換えと帰納法を用いて!-グラフで推論するための形式的論理を構築すること。
• コンパクト閉じたおよびトレース付き対称モノイダル圏における形式的帰納的証明を可能にすること。
• スパインダー則や一般化された双代数則といった、量子図式の基本的法則の形式的定式化を支援すること。
• Quantomaticなどの証明支援系における自動推論の基盤を提供すること。

提案手法

• 任意の繰り返し回数を持つ繰り返し部分グラフを表すために!-ボックス表記を導入する。
• !-ボックスがネストされたり重複したりする!-グラフを定義し、ストリンググラフ理論を拡張する。
• !-グラフの展開において意味的同値性を保つような、グラフ書き換えシステムを構築する。
• 展開正規形と深さ順インスタンス化に基づき、!-グラフの健全かつ完全なマッチングアルゴリズムを確立する。
• !-ボックス帰納法と等式論理を含む!-グラフの論理を提唱する。特にスパインダー則の形式的定式化を含む。
• マッチングの完全性と決定可能性を保証するため、深さ順および展開正規形の正規形を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限個のストリンググラフ族を、意味的同値性を保ちつつ有限に表現する方法は何か？
• RQ2 モノイダル圏の図式的論理において、グラフに基づく帰納法を形式化できるか？
• RQ3 !-グラフの書き換えを、等式論理において健全かつ完全にできるか？
• RQ4 !-ボックス構造が図式方程式の帰納的証明を可能にする役割は何か？
• RQ5 !-グラフのマッチングアルゴリズムを、正しくかつ完全に設計する方法は何か？

主な発見

• この論文は、!-ボックス表記を用いてストリンググラフを変数のアリティを持つノードへ拡張し、無限個のグラフ族のコンパクトな表現を可能にした。
• !-ボックス帰納法を含む、!-グラフの形式的論理が開発され、図式方程式の厳密な帰納的証明が可能になった。
• スパインダー則が!-ボックス帰納法を用いて形式的に証明され、本システムが複雑な量子図式推論に適していることが示された。
• 展開正規形かつ!-ボックスが「野生的でない」条件下で完全性が保証される、健全かつ完全なマッチングアルゴリズムが提示された。
• 一般化された双代数則が!-グラフフレームワークを用いて形式的に定式化され、相互作用するフロベニウス代数への適用が示された。
• 本フレームワークはQuantomatic証明支援系に統合され、図式的方程式における自動推論が可能になった。