[論文レビュー] Recent advances on the log-rank conjecture in communication complexity

Shachar Lovett|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

このサーベイは、通信複雑性における対数ランク予想に関する最近の進展をレビューし、ブール関数の決定的通信複雑性に関する改善された上界に焦点を当てる。主な結果として、決定的通信複雑性が $ O(\sqrt{\mathrm{rank}(f)} \cdot \log \mathrm{rank}(f)) $ 未満であることを示しており、従来の境界を著しく改善し、分散、ランダム化プロトコル、行列剛性への新たな関係を示唆している。

ABSTRACT

The log-rank conjecture is one of the fundamental open problems in communication complexity. It speculates that the deterministic communication complexity of any two-party function is equal to the log of the rank of its associated matrix, up to polynomial factors. Despite much research, we still know very little about this conjecture. Recently, there has been renewed interest in this conjecture and its relations to other fundamental problems in complexity theory. This survey describes some of the recent progress, and hints at potential directions for future research.

研究の動機と目的

• 対数ランク予想——通信複雑性における中心的未解決問題——に関する最近の進展を要約すること。
• 対数ランク予想と他の複雑性理論的問題（ランダム化および量子プロトコルを含む）との関係を探索すること。
• 低ランク行列の構造的性質、特にスパース行列とその行列剛性への含意を調査すること。
• 分散、情報コスト、ゼロ通信プロトコルに基づく新たな研究方向性を提案すること。

提案手法

• 通信行列のランクを用いて、ブール関数の決定的通信複雑性を分析する。
• 分散理論を適用して、通信複雑性の改善された上界を導出する。
• ランダム化プロトコルと決定的プロトコルの関係を用いて、複雑性を多項式対数因子で低減する。
• スパースな低ランク行列に大きなゼロ長方形が存在するというConjecture 6.3を導入・分析する。
• Conjecture 6.3から行列剛性の下界を導出し、既存の構成を対数因子で改善する。
• 対数ランク予想が量子プロトコルおよび情報コストに与える含意を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のブール関数 $ f $ の決定的通信複雑性は、$ O(\sqrt{\mathrm{rank}(f)} \cdot \log \mathrm{rank}(f)) $ で抑えられるか？
• RQ2 非ゼロ要素が少ない低ランク行列は、常に大きなゼロ長方形を含むか？
• RQ3 効率的なランダム化またはゼロ通信プロトコルが、低ランク関数に対して効率的な決定的プロトコルを示唆できるか？
• RQ4 近似ランク $ r $ を持つ関数に対して、ランダム化プロトコルの複雑性が $ \sqrt{r} \cdot \mathrm{poly}\log r $ で抑えられるという対数ランク予想は真か？
• RQ5 低ランク関数のための量子プロトコルは、ランクの多項式対数的オーバーヘッドで決定的プロトコルにシミュレート可能か？

主な発見

• 任意のブール関数 $ f $ の決定的通信複雑性は、$ O(\sqrt{\mathrm{rank}(f)} \cdot \log \mathrm{rank}(f)) $ 未満であり、以前の $ O(\mathrm{rank}(f)/\log \mathrm{rank}(f)) $ の境界を改善している。
• 多項式フリーマン＝ルツァ予想が $ \mathbb{F}_2^n $ 上で成り立つならば、$ \mathrm{CC}^{\mathrm{det}}(f) \leq O(\mathrm{rank}(f)/\log \mathrm{rank}(f)) $ が成り立つ。
• 複雑度 $ c $ のランダム化プロトコルが存在するならば、複雑度 $ O(c \cdot \log^2(\mathrm{rank}(f))) $ の決定的プロトコルが存在し、ランダム化と決定的モデルを結びつける。
• Conjecture 6.3が成り立つならば、$ \varepsilon n^2 $ 個以下の非ゼロ要素を持つ $ n \times n $ 行列は、両方の次元でサイズ $ \Omega(n \cdot \exp(-O(\sqrt{\varepsilon r}))) $ のゼロ長方形を含む。
• Conjecture 6.3を仮定すると、$ s = \Omega(n^2 / (r \log^2(n/r))) $ を満たす明示的な $ n \times n $ 行列が $ (r,s) $-剛性を有する。これは、既存の境界を対数因子で改善している。
• ランダム化プロトコルの対数ランク予想は、近似ランク $ r $ を持つ関数が $ \sqrt{r} \cdot \mathrm{poly}\log r $-複雑性のランダム化プロトコルを有することを示せば達成可能である。