[論文レビュー] Recent progresses in the theory of nonlinear nonlocal problems

Sunra Mosconi, Marco Squassina|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 48被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分数階 $p$-ラプラシアンを含む非線形非局所問題の理論における最近の進展をレビューし、弱解の存在および正則性に焦点を当てる。変分法を用いて多重性結果を確立し、切断技術と Palais-Smale 評価を用いて臨界成長条件下での非局所的 Brezis-Nirenberg 型問題に対する非自明解の存在を証明する。

ABSTRACT

We overview some recent existence and regularity results in the theory of nonlocal nonlinear problems driven by the fractional $p$-Laplacian.

研究の動機と目的

• 分数階 $p$-ラプラシアンによって駆動される非線形非局所問題の存在および正則性理論における最近の発展を調査すること。
• 分数階 $p$-ラプラシアン方程式の弱解の正則性、特に内部および境界挙動を分析すること。
• 臨界非局所問題、特に Brezis-Nirenberg 問題の非局所版に対する非自明解の存在を調査すること。
• エネルギー推定と Aubin-Talenti 関数の切断を用いて、臨界非局所方程式における Palais-Smale 条件が成立する条件を確立すること。
• 非局所非線形作用素の文脈における変分的および非変分的手法の包括的概説を提供すること。

提案手法

• Gagliardo の半ノルムとエネルギー空間 $W^{s,p}_0(\Omega)$ を用いた分数階 $p$-ラプラシアンの弱定式化を利用する。
• モース理論と制約付き最小化を含む変分法を適用し、複数の弱解の存在を証明する。
• スケーリングされた Aubin-Talenti 関数への切断技術を用いてエネルギーノルムを推定し、コンパクト性を回復する。
• リンク定理と極小・極大法を用いて、臨界成長条件下でのエネルギー汎関数の臨界点を同定する。
• 切断が $W^{s,p}_0$-半ノルムおよび $L^{p^*}$-ノルムに与える影響を制御することで、特定のエネルギー水準における Palais-Smale 条件を確立する。
• エネルギーと $L^{p^*}$-ノルムが制御されたテスト関数を構成する重要な技術的補題（補題 4.9）に依存する。これは、臨界ケースにおける存在性の証明に不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階 $p$-ラプラシアン問題が少なくとも3つの非自明な弱解をもつための条件は何か？
• RQ2 漸近的に $p$-線形な非局所問題が、非負かつ非正の解をそれぞれ少なくとも1つもつのはどのような場合か？
• RQ3 臨界成長を伴う非局所的 Brezis-Nirenberg 問題に対する非自明解の存在に必要な十分条件は何か？
• RQ4 Palais-Smale 条件が失敗するにもかかわらず、臨界ケースにおけるエネルギー汎関数のコンパクト性をどのように回復できるか？
• RQ5 分数階ソボレフ不等式の最小化子の最適な減衰率は何か？ また、Pohǒzaev 恒等式を用いた非存在結果とどのように関係するか？

主な発見

• 仮定 $\mathbf{H}_2$ と適切な制御条件 $\eqref{RC}$ の下で、領域 $\Omega$ 内で $(-\Delta_p)^s u = f(x,u)$、境界 $\partial\Omega$ 上で $u=0$ を満たす問題は、少なくとも3つの非ゼロの弱解をもつ。
• 漸近的に $p$-線形な場合で $\lambda \notin \sigma_{FR}(\Omega)$ であるとき、問題は少なくとも1つの非ゼロの弱解をもつ。
• $\lambda \in \sigma_{FR}(\Omega)$ で $\partial\Omega$ が $C^{1,1}$-滑らかであるとき、$\frac{N^2}{N+s} > p^2s$ または $\frac{N^3 + p^3 s^3}{N(N+s)} > p^2 s$ を満たすならば、非自明解が存在する。
• 非局所的 Brezis-Nirenberg 問題においては、$\lambda \notin \sigma_{FR}$ かつ $N > p^2 s$ であるか、$\lambda \in \sigma_{FR}$ で $N$、$p$、$s$ に関する幾何学的および成長条件を満たすならば、非自明な弱解が存在する。
• 補題 4.9 は、非負関数 $u_{\varepsilon,\delta} \in W^{s,p}_0(B_\delta)$ を構成し、$[u_{\varepsilon,\delta}]^p \leq \mathbb{S}^{N/(ps)} + C(\varepsilon/\delta)^{(N-ps)/(p-1)}$ および $\|u_{\varepsilon,\delta}\|_{p^*}^{p^*} \geq \mathbb{S}^{N/(ps)} - C(\varepsilon/\delta)^{N/(p-1)}$ を満たす。ここで $C = C(N,p,s)$ である。
• このようなテスト関数の構成により、臨界エネルギー水準でのコンパクト性が回復され、臨界非線形性が存在する状況でも極小・極大法の適用が可能になる。