[論文レビュー] Recognisable languages over monads

Mikołaj Bojańczyk|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2015

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単調（monads）を代数的言語理論の統一的枠組みとして導入し、文法的自己写像、擬変種、および単調第二階論理といった概念を任意の単調へ一般化する。また、プロファイント単調上の認識可能言語が、拡張されたMSO論理で定義可能な言語と一致することを確立し、プロファイント語におけるこの論理の充足可能性の決定不能性を証明する。

ABSTRACT

The principle behind algebraic language theory for various kinds of structures, such as words or trees, is to use a compositional function from the structures into a finite set. To talk about compositionality, one needs some way of composing structures into bigger structures. It so happens that category theory has an abstract concept for this, namely a monad. The goal of this paper is to propose monads as a unifying framework for discussing existing algebras and designing new algebras.

研究の動機と目的

• 異なる構造（語、木、森）における代数的言語理論を統一するため、圏論的概念である単調を用いること。
• マイヒル＝ネロードの定理、アイレンバーグの擬変種定理、正規言語と単調第二階論理の関係といった古典的結果を、任意の単調の文脈へ一般化すること。
• 無限および極限構造をモデル化するため、単調のプロファイント拡張を構築し、位相的設定における認識可能言語の研究を可能にすること。
• 特に、拡張された単調第二階論理を通じて、プロファイント単調上の認識可能言語の論理的特徴付けを調査すること。
• プロファイント語における、無限性および前缀述語を含む拡張MSO論理の充足可能性問題の決定性を特定すること。

提案手法

• 言語構造における合成性を抽象的に表現するため、単調およびその代数の形式的定式化を行い、有限語、無限語、木などの例を用いる。
• 単調の枠組み内で文法的自己写像および擬変種の概念を導入し、文法的自己写像定理や文法的擬変種定理などの古典的定理の類似を証明する。
• Stone双対性および一様連続性を用いてプロファイント単調を定義し、有限構造の極限をモデル化する自由代数の位相的完備化を構成する。
• プロファイント代数とStone位相における閉開言語の間の対応を確立し、代数的性質と位相的性質を結びつける。
• 「無限に多くの1」や「あるaが別のbより前に存在する」などの基本述語を組み込むことで、プロファイント単調への単調第二階論理の拡張を定義し、論理 mso+inf を構成する。
• 既知の決定不能性結果（例：[MB15] や [Tor12] からの還元）を用いて、mso+inf がプロファイント語上で充足可能性問題を満たさないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調は、語、木、森といった異なる構造における代数的言語理論を統一する一般枠組みとしてどのように機能するか？
• RQ2 マイヒル＝ネロードの定理やアイレンバーグの擬変種定理といった古典的結果の、単調的類似は何か？
• RQ3 有限構造の無限的および極限的挙動をモデル化するため、どのようにプロファイント単調を構築できるか。また、それらがどのような位相的性質を有するか？
• RQ4 プロファイント単調上のどの言語が認識可能であり、拡張された単調第二階論理での定義可能性とどのように関係するか？
• RQ5 プロファイント語上で、無限性および前缀述語を含む拡張MSO論理の充足可能性問題は決定可能か？

主な発見

• 本稿では、プロファイント単調上の認識可能言語が、無限性および相対的順序を表す述語を含む mso+inf と正確に一致することを確立した。
• mso+inf がプロファイント語上で充足可能かどうかの問題は、無限語における mso+u の決定不能性からの還元により、決定不能であると証明された。
• 文法的自己写像定理が単調へ一般化され、任意の認識可能言語が、単調上の有限代数への普遍的写像を備えることが示された。
• プロファイント単調の構成により、任意の T-代数に対して Stone双対が得られ、閉開言語およびプロファイント位相における一様連続性の定義が可能になった。
• 論理 mso+inf は ${\bar{+}}$-認識可能言語を捉えるが、すべての ${\bar{+}}$-認識可能言語を捉えるかどうかは未解決のままのままである。
• プロファイント写像 ${\mathrm{mul}_{\bf A}}: A^{\bar{+}} \to A$ が ${\bar{+}}$-写像であることが示され、プロファイント設定における単調公理との整合性が確認された。