[論文レビュー] Reconfiguration of Colourings and Dominating Sets in Graphs: a Survey

Christina M. Mynhardt, Shahla Nasserasr|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本調査は、グラフ彩色および支配集合の再構成に関する再構成グラフについて包括的な概説を提供しており、k-彩色、辺彩色、およびk-支配グラフ、γ-グラフ（ジャンプおよびスライド）、非冗長性グラフを含むさまざまな支配再構成モデルに焦点を当てる。基礎的な定義を確立し、連結性、直径、実現可能性といった構造的性質をレビューし、すべてのグラフがスライドγ-グラフとして実現可能であること、および木のγ-グラフが連結かつ二部グラフであるという主要な結果を強調する。

ABSTRACT

We survey results concerning reconfigurations of colourings and dominating sets in graphs. The vertices of the $k$-colouring graph $\mathcal{C}_{k}(G)$ of a graph $G$ correspond to the proper $k$-colourings of a graph $G$, with two $k$-colourings being adjacent whenever they differ in the colour of exactly one vertex. Similarly, the vertices of the $k$-edge-colouring graph $\mathcal{EC}_{k}(G)$ of $g$ are the proper $k$-edge-colourings of $G$, where two $k$-edge-colourings are adjacent if one can be obtained from the other by switching two colours along an edge-Kempe chain, i.e., a maximal two-coloured alternating path or cycle of edges. The vertices of the $k$-dominating graph $\mathcal{D}_{k}(G)$ are the (not necessarily minimal) dominating sets of $G$ of cardinality $k$ or less, two dominating sets being adjacent in $\mathcal{D}_{k}(G)$ if one can be obtained from the other by adding or deleting one vertex. On the other hand, when we restrict the dominating sets to be minimum dominating sets, for example, we obtain different types of domination reconfiguration graphs, depending on whether vertices are exchanged along edges or not. We consider these and related types of colouring and domination reconfiguration graphs. Conjectures, questions and open problems are stated within the relevant sections.

研究の動機と目的

• グラフ彩色および支配集合の再構成グラフに関する既存研究を体系的かつ要約すること。
• k-彩色、辺彩色、k-支配、およびγ-グラフを含む主要な再構成モデルの定義と構造的性質を明確にすること。
• 実現可能性、連結性、直径の上限に関する未解決問題および予想を特定すること。
• 再構成グラフと組合せ的グレイコードとの関係を確立し、マルコフ連鎖による近似数え上げへの影響を強調すること。
• グラフ再構成におけるアルゴリズム的、構造的、実現可能性に関する問いに統一的な参照を提供すること。

提案手法

• k-彩色グラフ 𝒞ₖ(G) を、G の適切なk-彩色を頂点とするグラフとして定義し、2つの彩色がちょうど1つの頂点でのみ異なるときに隣接するとする。
• k-辺彩色グラフ 𝒞𝓔ₖ(G) を、辺に沿ったケンプチェーンのスイッチを用いて定義し、2つの辺彩色が、最大の交互に色分けされた2色の経路または閉路に沿って2色を入れ替えることで得られる場合に隣接するとする。
• k-支配グラフ 𝒟ₖ(G) を、サイズがk以下の支配集合を頂点とするグラフとして定義し、1つの頂点の追加または削除によって片方がもう片方へ得られる場合に隣接するとする。
• γ-グラフを2つのモデルで定義する：ジャンプγ-グラフ 𝒥(G,γ) では、1つの頂点の置換によって隣接が定義され、スライドγ-グラフ 𝒮(G,γ) では、置換された頂点が隣接している必要がある。
• ジョンソングラフ J(n,k) を、実現可能なγ-グラフを特徴付ける普遍的フレームワークとして用い、H が 𝒥(G,γ) として実現可能であることは、H が J(n,k) の誘導部分グラフであることと同値であることを示す。
• 構造的グラフ理論および組合せ的構成を用いて実現可能性の結果を証明し、すべてのグラフがスライドγ-グラフ 𝒮(G,γ) として実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフが、あるグラフGに対してスライドγ-グラフ 𝒮(G,γ) として実現可能か？
• RQ2 木のγ-グラフの連結性および直径の上限に関する必要十分条件は何か？
• RQ3 すべての二部グラフが、二部グラフのγ-グラフとして実現可能か？
• RQ4 すべてのグラフが非冗長性グラフ（IR-グラフ）として実現可能か？ また、具体的にはどのグラフが実現不可能か？
• RQ5 Gの構造とそのγ-グラフの構造的性質（例：直径、最大次数）との関係は何か？

主な発見

• すべてのグラフは、無限個のグラフGに対してスライドγ-グラフ 𝒮(G,γ) として実現可能であることが、定理4.5で証明された。
• 任意の木Tのγ-グラフ 𝒮(T,γ) は連結かつ二部グラフであり、γ-グラフ 𝒥(T,γ) も連結であることが、Frickeら[31]によって確立された。
• サイズn、γ(T) = k、s本のストームをもつ任意の木Tに対して、𝒥(T,γ) および 𝒮(T,γ) の最大次数はn−k以下であり、直径はそれぞれ2kおよび2(k−s)以下であることが、定理4.6で示された。
• 木Tのスライドγ-グラフ 𝒮(T,γ) の頂点数は |V(𝒮(T,γ))| ≤ ((1+√13)/2)^γ(T) を満たし、これはある無限族の木に対してタイトな上限である。
• 連結なコグラフGのジャンプγ-グラフ 𝒥(G,γ) の直径は2以下であり、1に等しいのはGにユニバーサル頂点が存在する場合に限る。
• n≥5のパスPₙおよびサイクルCₙはIR-グラフとして実現可能でない。また、4頂点の連結なIR-グラフはK₄とC₄のみであり、これは定理4.7および関連結果で示された。