[論文レビュー] Recovering the good component of the Hilbert scheme

Torsten Ekedahl, Roy Skjelnes|ArXiv.org|May 5, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Haimanのアフィン平面における点のヒルベルト汎関手の構成を一般化し、$n$ 個の異なる点の集合のスキーム的閉包が、代数的空間の平坦な写像 $X \to S$ の $n$-重対称積（または分岐冪代数）における標準的イデアルの爆破と同型であることを示している。主な革新点は表現論の代わりに分岐冪を用いることであり、これにより任意の基底上で普遍的に、かつ非平坦な状況においても、分岐冪代数 $\Gamma^n_A(F)$ を用いて構成が可能になる。

ABSTRACT

In the Hilbert scheme of points on a scheme X there is an open subset parameterizing distinct points. The closure of that open set is by definition the good component. When X is flat over the base, we show that a certain blow-up of the symmetric product of X is the good component. The center of the blow-up we describe by giving generators for its defining ideal. In the non-flat case we obtain similar result by replacing the symmetric product with the divided power product. For smooth surfaces X the good component equals the Hilbert scheme of points.

研究の動機と目的

• アフィン平面におけるヒルベルト汎関手のHaimanの爆破記述を、代数的空間の任意の平坦な写像 $X \to S$ に一般化すること。
• ヒルベルト汎関手における $n$ 個の異なる点の集合のスキーム的閉包を、$n$-重対称積（または分岐冪代数）における標準的イデアルの爆破として得ること。
• Haimanの表現論的アプローチを、特徴値ゼロや次元2に制限されないより広範な文脈に適応可能な分岐冪に基づく形式的記法に置き換えること。
• 特に $X \to S$ が平坦でない場合にも成立するように、ヒルベルト汎関手 $\operatorname{Hilb}^n_{X/S}$ の存在を、構成的に確立すること。
• 非アフィンかつ非平坦な状況に対しても、対称積の代わりに分岐冪代数 $\Gamma^n_A(F)$ を用いることで、結果を拡張すること。

提案手法

• 平坦な $A$-代数 $F$ に対して、$\Gamma^n_A(F)$ の分岐冪代数の次数付き分岐冪代数における乗法構造を用いて、$A$-代数上のイデアルを定義する。
• $\Gamma^n_A(F)$ と $F^{igotimes_A n}$ の $\mathfrak{S}_n$-不変部分環との同型を用いて、イデアルを内在的に定義する。
• $\operatorname{Spec}(\Gamma^n_A(F))$ 上でのこのイデアルの爆破を構成し、ヒルベルト汎関手の良い成分の候補とする。
• 長さ $n$ の部分スキームの族を介して、爆破がヒルベルト汎関手に普遍的に写像されることを示し、$n$ 個の異なる点の集合のスキーム的閉包と同型であることを証明する。
• 対称積の代わりに、$F$ が $A$ 上平坦でない場合でも存在する $n$-重分岐冪積 $\Gamma^n_A(F)$ を用いることで、非平坦写像に対しても構成を拡張する。
• David Rydh の結果とグリューニング技術を用いて、アフィンから非アフィンスキームへの構成の拡張を行い、グローバルなヒルベルト汎関手と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Haimanのアフィン平面 $\mathbb{A}^2$ におけるヒルベルト汎関手の爆破記述は、代数的空間の任意の平坦な写像 $X \to S$ に一般化可能か？
• RQ2 表現論や特徴値に関する仮定に依存せずに、ヒルベルト汎関手の良い成分を構成することは可能か？
• RQ3 $X \to S$ が平坦でない場合、対称積を分岐冪代数といったより一般な対象に置き換えることは可能か？
• RQ4 代数的空間に対して、ヒルベルト汎関手 $\operatorname{Hilb}^n_{X/S}$ は完全に一般化された形で存在するか？ その存在は構成的に証明可能か？
• RQ5 分岐冪イデアルの爆破が、ヒルベルト汎関手における $n$ 個の異なる点の集合のスキーム的閉包と同型であることを示せるか？

主な発見

• イデアル $I$ の $\Gamma^n_A(F)$ 上での爆破は、$\operatorname{Hilb}^n_{X/S}$ における $n$ 個の異なる点の集合のスキーム的閉包と同型であり、Haimanの結果を一般化する。
• 基底スキーム $S$ にかかわらず普遍的に、$X \to S$ が平坦でない場合でも、対称積の代わりに分岐冪代数 $\Gamma^n_A(F)$ を用いることで構成が成立する。
• イデアルは $\mathfrak{S}_n$-不変部分環だけでなく、$\Gamma^*(F)$ の乗法構造に基づいて定義されており、これが構成の一般性を保つ上で不可欠である。
• アフィンの場合に既知の事例に還元するパッチワーク法を用いて、代数的空間に対して $\operatorname{Hilb}^n_{X/S}$ の存在が完全に一般化された形で確立された。
• 写像 $\varphi: \mathrm{G}^n_{X/S} \to \mathrm{Bl}_{I_V}(\Gamma^n_A F)$ は同型であり、爆破がヒルベルト汎関手の良い成分を実現していることを示している。
• $X \to S$ が相対次元2の滑らかさを持つ場合、Fogartyの滑らかさ定理が拡張され、基底スキームに関する制限が取り除かれた。