[論文レビュー] Recurrence, pointwise almost periodicity and orbit closure relation for flows and foliations

Tomoo Yokoyama|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉じた連結な曲面上の連続的流れおよびコンパクト多様体上のcodimension-one foliationに対して、再帰性、点별ほぼ周期性、軌道閉包関係（R-閉性）の同値な特徴づけを確立する。ベクトル場に関しては、点別再帰性、点別ほぼ周期性、最小性または点別周期性が同値であることを証明する。正則なベクトル場では、これらが軌道閉包関係Rが閉じていることと同値である。codimension-one foliationでは、点別ほぼ周期性、最小性またはコンパクト性、R-閉性が同値である。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a characterizations of the recurrence of a continuous vector field $w$ of a closed connected surface $M$ as follows. The following are equivalent: 1) $w$ is pointwise recurrent. 2)$w$ is pointwise almost periodic. 3) $w$ is minimal or pointwise periodic. Moreover, if $w$ is regular, then the following are equivalent: 1) $w$ is pointwise recurrent. 2)$w$ is minimal or the orbit space $M/w$ is either $[0,1]$, or $S^1$. 3) $R$ is closed (where $R := \{(x,y) \in M imes M \mid y \in \bar{O(x)} \}$ is the orbit closure relation). On the other hand, we show that the following are equivalent for a codimension one foliation $\mathcal{F}$ on a compact manifold: 1) $\mathcal{F}$ is pointwise almost periodic. 2) $\mathcal{F}$ is minimal or compact. 3) $\mathcal{F}$ is $R$-closed. Also we show that if a foliated space on a compact metrizable space is either minimal or is both compact and without infinite holonomy, then it is $R$-closed.

研究の動機と目的

• 閉じた連結な曲面上の連続的流れにおける再帰性およびほぼ周期性の特徴づけ。
• 曲面上の正則なベクトル場に対して、軌道閉包関係Rがいつ閉じているかを特定する。
• これらの同値性をコンパクト多様体上のcodimension-one foliationへ拡張する。
• foliated空間における最小性、コンパクト性、R-閉性の関係を調査する。
• 点別ほぼ周期性がR-閉性を含む条件、およびその逆が成り立つ条件を明確化する。

提案手法

• 軌道閉包関係R = {(x,y) ∈ M×M | y ∈ cl(O(x))} を用いて位相的力学系を分析する。
• ネット収束、関係の閉性、商空間の性質などの位相的道具を応用する。
• コンパクトハウスドルフ条件下で、点別ほぼ周期性と軌道閉包関係の閉性が同値であるという事実を活用する。
• 一般にはR-閉性が点別ほぼ周期性を含まないことを示す反例を構成する。
• 無理数回転や記号的力学系を含む、コンパクトな距離化可能な空間上の力学系を用いて境界ケースをテストする。
• 分解理論および同値関係を用いてfoliationを分析し、Rが閉じる条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた連結な曲面上の連続的ベクトル場に対して、点別再帰性と点別ほぼ周期性は同値か？
• RQ2 正則なベクトル場が曲面上にあるとき、軌道閉包関係Rがいつ閉じているか？
• RQ3 コンパクト多様体上のcodimension-one foliationでは、点別ほぼ周期性が最小性またはコンパクト性と同値となる条件は何か？
• RQ4 foliationに対してR-閉性と点別ほぼ周期性は同値か？
• RQ5 点別周期的流れは、周期的でない限りR-閉性を満たさないか？

主な発見

• 閉じた連結な曲面上の連続的ベクトル場wに対して、wが点別再帰的であることと、点別ほぼ周期的であること、最小的または点別周期的であることとは同値である。
• wが正則である場合、点別再帰性は、wが最小的であるか、または軌道空間M/wが[0,1]またはS¹に位相的に同型であることに同値である。
• 正則なベクトル場に対して、軌道閉包関係Rが閉じていることと、wが点別再帰的であることは同値である。
• コンパクト連結多様体上のcodimension-one foliation Fに対して、Fが点別ほぼ周期的であることと、最小的またはコンパクトであることとは同値である。
• このようなfoliationに対して、点別ほぼ周期性はFがR-閉であることと同値である。
• コンパクト距離化可能な空間上のfoliated空間が最小的であるか、あるいはコンパクトかつ無限ホロノミーを持たない場合、それはR-閉である。