[論文レビュー] Recursive QAOA outperforms the original QAOA for the MAX-CUT problem on complete graphs

Eunok Bae, Soojoon Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全グラフにおけるMAX-CUT問題に関して、再帰的QAOA（RQAOA）が標準QAOAを上回ることを解析的に証明している。RQAOAはレベル1で正確な解（近似比 = 1）を達成するが、標準QAOAはレベル1で1より小さい厳密な近似比 1 − 1/(8n²) を示す。この結果は、NISQ時代における構造的グラフにおけるQAOAの固有の制限を克服するRQAOAの優位性を示している。

ABSTRACT

Quantum approximate optimization algorithms are hybrid quantum-classical variational algorithms designed to approximately solve combinatorial optimization problems such as the MAX-CUT problem. In spite of its potential for near-term quantum applications, it has been known that quantum approximate optimization algorithms have limitations for certain instances to solve the MAX-CUT problem, at any constant level $p$. Recently, the recursive quantum approximate optimization algorithm, which is a non-local version of quantum approximate optimization algorithm, has been proposed to overcome these limitations. However, it has been shown by mostly numerical evidences that the recursive quantum approximate optimization algorithm outperforms the original quantum approximate optimization algorithm for specific instances. In this paper, we analytically prove that the recursive quantum approximate optimization algorithm is more competitive than the original one to solve the MAX-CUT problem for complete graphs with respect to the approximation ratio.

研究の動機と目的

• 完全グラフにおけるMAX-CUT問題に対する標準QAOAと再帰的QAOA（RQAOA）の性能を分析・比較すること。
• 標準QAOAに知られている制限、特に特定のグラフタイプにおける近似比の有界性をRQAOAが克服できるかどうかを特定すること。
• 完全グラフという、最適解が直感的に明らかであるクラスにおいて、RQAOAが標準QAOAを上回ることを解析的に証明すること。
• レベル1のRQAOAが正確な解（近似比 = 1）を達成するが、レベル1のQAOAは原理的に不可能であることを確立すること。

提案手法

• 論文は、2n個の頂点を持つ完全グラフにおけるMAX-CUT問題を、量子イジングハミルトニアンを用いて定式化する。
• 変分パラメータβとγを用いて、レベル1のQAOAにおけるコスト関数の期待値を導出し、達成可能な最大値を計算する。
• RQAOA手順を再帰的に分析し、QAOA出力に基づく反スピンペアの固定によって問題サイズを縮小するプロセスに焦点を当てる。
• 鍵となる解析的ステップは、任意のnに対して、レベル1のQAOAの最大近似比が1 − 1/(8n²) よりも厳密に小さいことを証明することである。
• レベル1のRQAOAが、部分問題を再帰的に解き、正確な基底状態を回復することで、近似比が正確に1に達することを示す。
• 証明は、QAOAにおけるコスト関数の最大期待値をバウンディングし、それと古典的な最大カット値を比較することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的QAOA（RQAOA）は、完全グラフにおけるMAX-CUT問題を解く際、標準QAOAを上回ることができるか？
• RQ2 RQAOAは、完全グラフにおいてレベル1で正確な解（近似比 = 1）を達成できるが、標準QAOAは失敗するのか？
• RQ3 完全グラフにおけるレベル1QAOAの近似比の解析的上限は何か？ そして、RQAOAと比較するとどうなるか？
• RQ4 完全グラフは高い対称性と小さな周囲長を持つが、なぜ標準QAOAは正確な解に到達できないのか？
• RQ5 RQAOAの再帰的構造が、完全グラフのような特定のグラフ族において、解の品質を解析的に保証できるのか？

主な発見

• レベル1のRQAOAは、2n個の頂点を持つ完全グラフにおけるMAX-CUT問題に対して、正確な近似比1を達成し、最適解を正確に特定する。
• 任意のnに対して、レベル1のQAOAの近似比は1 − 1/(8n²) よりも厳密に小さいことが証明され、正確な解に到達できないことが示された。
• この解析的結果は、最適解が古典的に明らかである完全グラフにおいて、標準QAOAの根本的な制限をRQAOAが克服することを示している。
• 性能の差は定量的に確立されている：QAOAの近似比は1から少なくとも1/(8n²) 離れており、nが大きくても消えない非ゼロの量である。
• この結果は、非自明なグラフクラスにおいて、RQAOAが数値的にだけでなく、厳密に標準QAOAを上回ることを示す最初の解析的証明である。
• 研究は、高対称性で周囲長が小さいグラフですら、標準QAOAが定数深さで正確な解に到達できないのに対し、RQAOAは成功することを強調している。