[論文レビュー] Reduced free products of unital AH algebras and Blackadar and Kirchberg's MF algebras

Don Hadwin, Jiankui Li+2 more|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、単位的AH C*-代数の健全なトレースを伴う縮小自由積がMF代数であることを確立し、HaagerupとThorbjørnsenの $C_r^*(F_2)$ に関する結果を一般化する。ユニタリ要素がトレースが0であるというAvitzourの条件が成り立つ場合、そのような自由積のBDF拡張半群は群でなくなり、非準拋的C*-代数の広いクラスが非群拡張半群を持つことが示される。

ABSTRACT

In the paper, we prove that reduced free products of unital AH algebras with respect to given faithful tracial states, in the sense of Voiculescu, are Blackadar and Kirhcberg's MF algebras. We also show that the reduced free products of unital AH algebras with respect to given faithful tracial states, under mild conditions, are not quasidiagonal. Therefore we conclude, for a large class of AH algebras, the Brown-Douglas-Fillmore extension semigroups of the reduced free products of these AH algebras with respect to given faithful tracial states are not groups. Our result is based on Haagerup and Thorbjørsen's work on the reduced C$^*$-algebras of free groups.

研究の動機と目的

• HaagerupとThorbjørnsenの $Ext(C_r^*(F_2))$ が群でないという結果を、より広いクラスのC*-代数へ一般化すること。
• 単位的AH代数の健全なトレースを伴う縮小自由積がいつMF代数であるかを調査すること。
• そのような自由積のBDF拡張半群が群でなくなる条件を特定すること。
• 自由積構成を用いて非準拋的C*-代数の理解を拡張すること。

提案手法

• 単位的C*-代数と健全なトレースを伴うVoiculescuの縮小自由積構成を用いる。
• HaagerupとThorbjørnsenの $C_r^*(F_2)$ に関する結果をモデルとして用い、それらが行列代数の超積に埋め込めるという事実を活用する。
• Avitzourの条件のもとで、単位的AH代数の健全なトレースを伴う縮小自由積がMF代数であることを確立する。
• 群作用を用いて、行列代数上の自由積代数へのC*-代数の埋め込みを構成する。
• C*-代数がMF代数ではあるが準拋的でない場合、そのBDF拡張半群は群でないという事実を用いる。
• MF性が最小テンソル積および $C_r^*(F_n)$ との自由積に関して安定であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的AH代数の健全なトレースを伴う縮小自由積がMF代数であるための条件は何か？
• RQ2 そのような自由積のBDF拡張半群が群でなくなるのはいつか？
• RQ3 Avitzourの条件（ユニタリ要素がトレース0）を用いて自由積の非準拋的性を保証できるか？
• RQ4 MF性は $C_r^*(F_n)$ と単位的AH代数との自由積に関して保存されるか？
• RQ5 縮小自由積の構造を用いて、非群拡張半群をもつ新しい非準拋的C*-代数の例を構成できるか？

主な発見

• 単位的AH代数の健全なトレースを伴う縮小自由積はMF代数である。
• Avitzourの条件が成り立つ場合——つまり、各代数にトレースが0のユニタリ要素が存在する場合——その自由積のBDF拡張半群は群でない。
• 同じ条件下で自由積は準拋的でないことが示され、MF代数であるにもかかわらず、準拋的でないことがわかる。
• この構成はHaagerupとThorbjørnsenの結果を一般化する： $Ext(C_r^*(F_2))$ は群でない。
• $C_r^*(F_n)$ と健全なトレースを伴う単位的AH代数の自由積はMF代数である。
• 健全なトレースを伴う単位的AF代数 $\mathcal{B}_i$ に対して、自由積 $\big((\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{B}_0, \psi \otimes_{\min} \phi_0) *_{\text{red}} \cdots *_{\text{red}} (\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{B}_n, \psi \otimes_{\min} \phi_n)\big)$ はMF代数である。