[論文レビュー] Reduced Genus-One Gromov-Witten Invariants

Aleksey Zinger|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、主成分における定値写像からの種数0寄与を除外するように、$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}^{0}(X,A;J)$ と呼ばれる縮約されたモジュライ空間を定義することにより、種数1のグロモフ・ウィッテン不変量の新クラスを導入する。この縮約空間上で仮想基本類を構成することで、種数1の$J$-擬正則曲線のみを数える、幾何的に意味のあるシンプレクティック不変量を定義する。これにより、完全交差に対して種数1不変量の計算が可能となり、標準的不変量に対する幾何的代替手段が得られる。

ABSTRACT

In a previous paper we described a natural closed subset of the moduli space of stable genus-one J-holomorphic maps into a symplectic manifold X. In this paper we generalize the definition of the main component to moduli spaces of perturbed, in a restricted way, J-holomorphic maps. This generalization implies that the main component, just like the entire moduli space, carries a virtual fundamental class and can be used to define symplectic invariants. These truly genus-one invariants constitute part of the standard genus-one Gromov-Witten invariants, which arise from the entire moduli space. The new invariants are more geometric and can be used to compute the genus-one GW-invariants of complete intersections, as shown in a separate paper.

研究の動機と目的

• 主成分における定値写像からの寄与を除外する、幾何的に意味のある種数1モジュライ空間の部分集合を定義すること。
• この縮約モジュライ空間に仮想基本類を構成し、それがシンプレクティック不変量を支えることを保証すること。
• 低種数の寄与が干渉しないように、種数1グロモフ・ウィッテン不変量を計算するための枠組みを提供すること。
• この縮約モジュライ空間の構成を摂動された$J$-擬正則写像へ一般化し、その適用範囲を拡張すること。
• 同伴論文で示されるように、完全交差に対して種数1不変量の計算を可能にすること。

提案手法

• 全モジュライ空間$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}(X,A;J)$の閉部分集合として、種数1成分が定値に写像される安定写像を除いた、$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}^{0}(X,A;J)$ と呼ばれる縮約モジュライ空間を定義する。
• 摂動された$J$-擬正則写像へ一般化する際、摂動が縮約構造を保つように制限する。
• 仮想基本類の道具立てを用いて、$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}^{0}(X,A;J)$ に有理数値の基本類を付与する。
• 障害 bundle 技法と bundle ホモーレジズムの数え上げを用いて、チャーン類の交差により仮想的数え上げを計算する。
• 種数0グロモフ・ウィッテン理論からの除数関係およびディラトン関係を活用し、仮想的数え上げを標準的不変量の言葉で評価する。
• 与えられたバブル型$\mathcal{T}$に対する仮想的数え上げ$N(\widetilde{\mathcal{D}}_{\mathcal{T}})$は、$\frac{2 - \langle c_1(TX), A \rangle}{24} \cdot \text{GW}_{0,k}^{X}(A;\psi)$ で与えられ、縮約不変量と種数0データの間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、主成分における定値写像からの寄与を除外し、真の種数1$J$-擬正則曲線のみを数えるシンプレクティック不変量を定義できるか？
• RQ2 縮約モジュライ空間$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}^{0}(X,A;J)$ に仮想基本類を付与することで、整合的に定義された不変量を得られるか？
• RQ3 縮約された種数1不変量と標準的種数1グロモフ・ウィッテン不変量との正確な関係は何か？
• RQ4 縮約空間上の仮想的数え上げは、幾何的・位相的制約を通じて、どのように種数0不変量と関係づけられるか？
• RQ5 縮約不変量を用いて、完全交差に対して標準的種数1不変量を計算できるか？

主な発見

• 縮約モジュライ空間$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}^{0}(X,A;J)$ は、全モジュライ空間$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}(X,A;J)$ のコンパクトかつ閉じた部分集合であり、種数1成分が定値に写像される写像を除いている。
• 空間$\overline{\mathfrak{M}}_{1,k}^{0}(X,A;J)$ は有理数値の仮想基本類を備えており、これにより真の種数1曲線のみを数えるシンプレクティック不変量を定義できる。
• $|M_P\mathcal{T}| = 0$ である単純なバブル型$\mathcal{T}$ に対して、仮想的数え上げ$N(\widetilde{\mathcal{D}}_{\mathcal{T}})$ は $\frac{2 - \langle c_1(TX), A \rangle}{24} \cdot \text{GW}_{0,k}^{X}(A;\psi)$ で与えられ、縮約不変量と種数0データの間の関係を確立する。
• この構成は摂動された$J$-擬正則写像へ一般化可能であり、仮想基本類構造を保つ。
• 縮約不変量は幾何的に意味があり、完全交差の標準的種数1グロモフ・ウィッテン不変量の計算に用いることができる。
• 本手法により、不適切な種数0成分をカウントから排除することで、種数1寄与を体系的に分離・計算する方法が得られる。