[論文レビュー] On degree zero elliptic orbifold Gromov-Witten invariants

Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、モジュライ空間の直接的解析と仮想局在化の2つの手法を用いて、非スタック的挿入を持つ genus one degree zero のオルビフォールド Gromov-Witten 不変量を計算する。これは、二重インertia スタックの接バンドルの1番目のチャーン類を含む予想の公式を検証し、オルビフォールド Gromov-Witten 理論における Virasoro 制約の基礎的結果を提供する。

ABSTRACT

We compute, by two methods, the genus one degree zero orbifold Gromov-Witten invariants with non-stacky insertions which are exceptional cases of the dilaton and divisor equations. One method involves a detailed analysis of the relevant moduli spaces. The other method, valid in the presence of torus actions with isolated fixed points, is virtual localization. These computations verify the conjectural evaluations of these invariants. Some genus one twisted orbifold Gromov-Witten invariants are also computed.

研究の動機と目的

• モジュライ空間の不安定性により、通常の双対方程式と除数方程式の例外的ケースである genus one degree zero のオルビフォールド Gromov-Witten 不変量を計算すること。
• genus 1、degree 0、1つの非スタック的マークド点を有する場合に、標準的な Gromov-Witten 方程式が失敗する理由を解消すること。
• 先行研究で提起された、特に二重インertia スタックおよびその接バンドルを含む、これらの不変量に関する予想の公式を検証すること。
• 特性類と仮想局在化を用いて、ねじれオルビフォールド Gromov-Witten 不変量への計算を拡張すること。

提案手法

• 1つの非スタック的マークド点を有する genus 1、degree 0 の安定写像のモジュライスタック $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}(\mathcal{X},0)^{\prime}$ を分析し、これは普遍ファミリ構造を欠いている。
• 固定点が孤立するトーラス作用の下で仮想局在化技術を適用し、等置性積分を用いて不変量を計算する。
• 可換な自己同型を有する三重組 $(x,g_1,g_2)$ として定義される二重インertia スタック $II\mathcal{X}$ を用い、不変量を特性類の形で表現する。
• 仮想次元のリーマン・ロッホ計算と仮想基本クラスへの積分により、不変量を導出する。
• 被覆の特性類と双対Toddクラスを被積分関数に組み込むことで、ねじれ不変量への戦略を適用し、$K$-理論的クラスと余接線バンドルからの成分を含む。
• 分解 $F_{1,1,0} = R^\bullet\pi_*f^*F$ 及びその $II\mathcal{X}$ 上での不変部分バンドルによる等置性記述に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な双対方程式と除数方程式が失敗する状況下で、非スタック的挿入を有する genus one degree zero のオルビフォールド Gromov-Witten 不変量の値は何か？
• RQ2 普遍ファミリ構造が存在しない状況で、仮想局在化はどのように不変量の計算に適用可能か？
• RQ3 不変量 $\left\langle\tau_1(1)\right\rangle_{1,1,0}^{\prime\mathcal{X}}$ および $\left\langle\tau_0(D)\right\rangle_{1,1,0}^{\prime\mathcal{X}}$ の明確な幾何学的およびコホノロジー的解釈は何か？
• RQ4 genus 1、degree 0 において、ねじれ Gromov-Witten 不変量とねじれでない不変量の関係は何か？また、不変部分バンドル $F^{\langle g,h \rangle}$ の役割は何か？
• RQ5 $c_{\text{top}}(T_{II\mathcal{X}})$ および $c_{\text{top}-1}(T_{II\mathcal{X}})$ を含む予想の公式は、どのように厳密に検証可能か？

主な発見

• 不変量 $\left\langle\tau_1(1)\right\rangle_{1,1,0}^{\prime\mathcal{X}}$ は正確に $\frac{1}{24}\int_{II\mathcal{X}}c_{\text{top}}(T_{II\mathcal{X}})$ に等しく、[8]で提起された予想を検証する。
• 不変量 $\left\langle\tau_0(D)\right\rangle_{1,1,0}^{\prime\mathcal{X}}$ は $-\frac{1}{24}\int_{II\mathcal{X}}\pi_{\mathcal{X}}^*D \cup c_{\text{top}-1}(T_{II\mathcal{X}})$ に等しく、第二の予想の公式を確認する。
• 計算は二つの独立した手法（直接的モジュライ空間解析と仮想局在化）によってなされ、その妥当性が保証されている。
• ねじれ不変量に関しては、$ch_k(\pi_{\mathcal{X}}^*F)$、$c_{\text{top}}(T_{II\mathcal{X}})$、特性類 $\mathbf{c}$ からの係数 $s_j$ を含む一般式が導出された。
• 結果は等置性および非等置性の両設定で成り立つ。不変部分バンドル $F^{\langle g,h \rangle}$ は局在化計算において中心的な役割を果たす。
• これらの公式は、$\mathcal{X} = BG$ の場合の先行結果を拡張し、完全な一般性において最初の完全な genus one オルビフォールド Gromov-Witten 不変量の計算である。