[論文レビュー] Reduced-Order Nonlinear Observers via Contraction Analysis and Convex Optimization

Bowen Yi, Ruigang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、収縮解析と凸最適化を用いて、グローバルに収束する低次元非線形オブザーバーを設計する新規手法を提案する。座標変換によりシステムのダイナミクスを収縮形に変換することで、検証可能な微分不等式を導出し、オフラインの凸最適化を用いた体系的で計算効率の良いオブザーバー設計を可能にする。この手法は、機械的、生化学的、電気機械的システムを含む多様な非線形システムに適用可能である。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new approach to design globally convergent reduced-order observers for nonlinear control systems via contraction analysis and convex optimization. Despite the fact that contraction is a concept naturally suitable for state estimation, the existing solutions are either local or relatively conservative when applying to physical systems. To address this, we show that this problem can be translated into an off-line search for a coordinate transformation after which the dynamics is (transversely) contracting. The obtained sufficient condition consists of some easily verifiable differential inequalities, which, on one hand, identify a very general class of "detectable" nonlinear systems, and on the other hand, can be expressed as computationally efficient convex optimization, making the design procedure more systematic. Connections with some well-established approaches and concepts are also clarified in the paper. Finally, we illustrate the proposed method with several numerical and physical examples, including polynomial, mechanical, electromechanical and biochemical systems.

研究の動機と目的

• 既存の局所的または過剰に保守的なアプローチに起因する制限を克服する、非線形制御システムに対する体系的でグローバルに収束するオブザーバー設計手法の開発。
• 横断的収縮の十分条件を計算的に取り扱いやすい凸最適化問題に変換すること。
• 収縮に基づくオブザーバー設計の適用範囲を、多項式的、機械的、生化学的システムを含む広範な非線形システムのクラスに拡張すること。
• オンラインの非凸最適化を回避する構成的フレームワークを提供し、リアルタイム実装を可能にすること。

提案手法

• 本手法は、元のシステムを出力関数に関して横断的に収縮する形に変換する座標変換を用いる。
• 正定値半定値リーマン計量 $ W(\chi) = \Psi(\chi)P(\chi)\Psi^\top(\chi) $ を用いて微分リャプノフ関数を定義し、微分状態の指数的収束を保証する。
• 横断的収縮の十分条件は行列不等式として定式化される：$ \partial_f W + \left(\frac{\partial f}{\partial \chi}\right)^\top W + W \frac{\partial f}{\partial \chi} \prec 0 $、これは最適化変数に関して凸である。
• オブザーバー設計はオフラインの凸最適化問題として定式化され、効率的な計算とリアルタイム実装を可能にする。
• 状態再構成を保証するため、写像 $ \psi(\chi) = \int_0^1 \Psi(s\chi)^\top \chi \, ds $ の単射性を活用する。
• 本フレームワークは、機械的、電気機械的、生化学的システムを含む多数の物理系で検証され、グローバル収束性とロバストネスが示された。

Figure 1: Simulation results of the polynomial system ( 48 )

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮解析を体系的に非線形システムの低次元グローバル収束オブザーバー設計に応用可能か？
• RQ2 横断的収縮の十分条件を凸最適化問題として表現可能か？ これにより計算が効率的に行えるか？
• RQ3 本手法が特定する検出可能非線形システムのクラスは、ハイゲインやKKLオブザーバーのような既存のフレームワークと比較してどれほど一般化されているか？
• RQ4 座標変換がグローバル収束性の実現とオブザーバー設計プロセスの簡素化に果たす役割は何か？
• RQ5 KKLオブザーバーが要請するオンライン非凸最適化を回避できるか？ これによりリアルタイム実装が可能になるか？

主な発見

• 座標変換下でのシステムの横断的収縮を保証することにより、本手法はオブザーバー誤差ダイナミクスのグローバル収束を保証する。
• 横断的収縮の十分条件は凸行列不等式として表現され、凸最適化による効率的なオフライン計算を可能にする。
• 本手法は、数値的および物理的実例を通じて、多項式的、機械的、電気機械的、生化学的システムを含む広範な非線形システムに適用可能であることが示された。
• KKLオブザーバーとは異なり、オンライン非凸最適化を回避するため、リアルタイム実装に適している。
• 収束速度は微分リャプノフ関数 $ V(\chi, \delta\chi) = \delta\chi^\top W(\chi) \delta\chi $ の減衰によって定量的に評価され、指数的にゼロに収束する。
• 本フレームワークは収縮解析とオブザーバー設計の明確な関連を確立し、検出可能性や増分安定性といった既存の概念との関連を明確にした。

Figure 2: The unmeasured states and their estimates from the proposed observer ( 50 ) and the structure preserving observer in [ 45 ] , which is a local design, for the MagLev model ( 49 )