[論文レビュー] Reducing multi-qubit interactions in adiabatic quantum computation without adding auxiliary qubits. Part 1: The "deduc-reduc" method and its application to quantum factorization of numbers

Richard Tanburn, Emile Okada+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、補助キュービットを追加せずに、アディアバティック量子計算のハミルトニアンにおける高次（3および4キュービット）相互作用を低減するための「deduc-reduc」手法を導入する。有界な多項式を用いた代数的変換により、基底状態を保持しながら複雑さを低減する。25桁の因数分解において、4キュービット項で94%、3キュービット項で83%の低減を達成し、現在の量子アニーリングマシンが2キュービット相互作用までしかサポートしないという制限に適合可能にする。

ABSTRACT

Adiabatic quantum computing has recently been used to factor 56153 [Dattani & Bryans, arXiv:1411.6758] at room temperature, which is orders of magnitude larger than any number attempted yet using Shor's algorithm (circuit-based quantum computation). However, this number is still vastly smaller than RSA-768 which is the largest number factored thus far on a classical computer. We address a major issue arising in the scaling of adiabatic quantum factorization to much larger numbers. Namely, the existence of many 4-qubit, 3-qubit and 2-qubit interactions in the Hamiltonians. We showcase our method on various examples, one of which shows that we can remove 94% of the 4-qubit interactions and 83% of the 3-qubit interactions in the factorization of a 25-digit number with almost no effort, without adding any auxiliary qubits. Our method is not limited to quantum factoring. Its importance extends to the wider field of discrete optimization. Any CSP (constraint-satisfiability problem), psuedo-boolean optimization problem, or QUBO (quadratic unconstrained Boolean optimization) problem can in principle benefit from the "deduction-reduction" method which we introduce in this paper. We provide an open source code which takes in a Hamiltonian (or a discrete discrete function which needs to be optimized), and returns a Hamiltonian that has the same unique ground state(s), no new auxiliary variables, and as few multi-qubit (multi-variable) terms as possible with deduc-reduc.

研究の動機と目的

• アディアバティック量子因数分解におけるスケーラビリティの障壁を解消すること。これは、ハミルトニアンに過剰な3および4キュービット相互作用が存在するためである。
• 現在の量子アニーリングハードウェアの主な制限である、高次項の低減に補助キュービットを必要としないようにすること。
• 2キュービット相互作用までしかサポートしない既存の量子アニーリングマシンを、整数因数分解のような複雑な離散最適化問題に活用可能にする。
• 因数分解を超えて、他の制約充足問題（CSP）、擬似ブール最適化、およびQUBO問題へ一般化すること。
• 元のハミルトニアンの固有の基底状態を保持しつつ、マルチキュービット項の数を最小限に抑えること。

提案手法

• 多項式変換を用いる：目的関数f(x)が与えられたとき、解においてf(x)と一致し、それ以外では異なる関数g(x)を構築し、g(x)が多項式q(x)によって有界であるようにする。
• ペナルティ項λC(x) = λ(g(x) - f(x))²を導入し、新しいハミルトニアンH′(x) = q(x)g(x) + r(x) + λC(x)が非負であり、f(x) = 0のときにのみ0になるようにする。
• 変換により、H′(x) = 0がかつてH(x) = 0である場合にのみ成立し、基底状態を保持しながら相互作用の次数を低減する。
• 代数的帰納を用いて、積q(x)(g(x) - f(x))が元のハミルトニアンの高次項を打ち消すような適切なq(x)を特定する。
• 三角不等式または反復的分割を用いて、ペナルティ項の安全な上界λを計算し、全式の非負性を保証する。
• オープンソースコードを用いて実装され、ハミルトニアンを入力として受け取り、高次項が減った同等のハミルトニアンと補助変数なしで出力する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アディアバティック量子計算のハミルトニアンにおける高次相互作用は、補助キュービットを追加せずに低減可能か？
• RQ2 基底状態を保持しつつ、3および4キュービット項の数を最小限に抑えるにはどうすればよいか？
• RQ3 変換されたハミルトニアンが元のハミルトニアンと同じ固有の基底状態を持つことを保証する代数的条件は何か？
• RQ4 この手法は、キュービット数を増加させずに、スペクトル幅をどれほど小さくできるか、またはエネルギーの分布をどれほど改善できるか？
• RQ5 この手法は、整数因数分解を超えて、他の離散最適化問題へ一般化可能か？

主な発見

• deduc-reduc手法により、25桁の数の因数分解において、補助キュービットを追加せずに4キュービット相互作用の94%、3キュービット相互作用の83%が低減された。
• この手法により、高次ハミルトニアンが2キュービット相互作用のみを含む同等のハミルトニアンに変換され、D-Wave社の2048キュービットデバイスなどの現在の量子アニーリングマシンと互換性が確保された。
• 変換により基底状態が保持された：H′(x) = 0がかつてH(x) = 0のときにのみ成立し、最適化結果の正しさが保証された。
• この手法は効率的に動作し、標準のラップトップで数千の高次項を数秒で低減できた。
• 将来的な量子アニーリングマシンを想定し、Roseの法則が続く限り、アディアバティック量子計算を用いてRSA-220（5000キュービット）の因数分解が可能になる。
• この手法は、CSP、擬似ブール最適化、QUBO問題を含む任意の離散最適化問題へ一般化可能であり、シミュレーテッドアニーリングおよび量子アニーリングの高速化に応用可能である。