[論文レビュー] Reduction of CM elliptic curves and modular function congruences

Noam D. Elkies, Ken Ono+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、虚二次体における素数 p における分解型および類数の条件下で、j-不変量におけるヒルベルト類多項式に U(p) 演算子を作用させたものとモジュラー形式との間の合同関係を調査する。半整数重みモジュラー形式に関する深い結果とデューリングの還元写像を用いて、類数と p が虚二次体でどのように分解するかに依存する特定の条件下で、このような合同関係が成り立つことを示している。主な結果として、小さな類数では合同関係の挙動が一様であり、p-進付値が制御可能であることが示されている。

ABSTRACT

We study congruences of the form F(j(z)) | U(p) = G(j(z)) mod p, where U(p) is the p-th Hecke operator, j is the basic modular invariant 1/q+744+196884q+... for SL2(Z), and F,G are polynomials with integer coefficients. Using the interplay between singular (a.k.a. CM) j-invariants in characteristic zero and supersingular ones in characteristic p, we obtain such congruences in which F is the minimal polynomial of a CM j-invariant, and give a sufficient condition for G to be a constant polynomial in these congruences.

研究の動機と目的

• F(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p を満たすような G_p(x) ∈ ℤ[x] が存在する条件を特定すること。
• 特に h(−D) < p のとき、このような合同関係が定数還元をもたらす条件を調査すること。
• 特異 j-不変量とその重複度が、これらの合同関係の有効性を決定づける役割を分析すること。
• F(x) が 𝔽_p[x] 内で S̃_p(x)^2 で割り切れるという性質を用いて、一般の基準を確立すること。
• 特に p/6 < h(−D) < p のとき、合同関係 F(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p が成り立つ判別式の割合を調査すること。

提案手法

• 合同関係 F(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p が、F(x) が 𝔽_p[x] 内で S̃_p(x)^2 で割り切れるという条件に帰着されることを示す一般基準（定理 2.3）を構築する。
• Deuringの定理を応用し、p が ℚ(√−D) で分解しない場合、特異モジュラーが特異 j-不変量に還元されることを用いる。
• Grossの重み 3/2 のシータ関数とそのフーリエ係数を用いて、特異モジュラーから特異 j-不変量への還元写像の上への性質を再解釈する。
• Duke と Iwaniec の半整数重み尖点形式の係数に関する評価を用い、与えられた特異 j-不変量に還元される特異モジュラーの数が D と共に増加することを示す。
• シータ関数のエイゼンスタイン級数成分についての Siegel の公式を適用し、尖点形式の誤差項と組み合わせることで、特異 j-不変量の重複度に対する下界を得る。
• 任意の素数 p と t ≥ 1 に対して、N_p(t) が存在し、すべての基本的判別式 −D < N_p(t) で (−D/p) ≠ 1 を満たすとき、H_D(x) mod p における各特異 j-不変量の重複度は少なくとも t 以上であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 p と基本的判別式 −D に対して、H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p が成り立つか？
• RQ2 Ω_p = {−D 基本的 | p/6 < h(−D) < p かつ (−D/p) ≠ 1} のとき、H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p を満たす判別式 −D の割合は何か？
• RQ3 h(−D) < p のとき、H_D(j(z)) に U(p) 演算子を作用させたものが定数 modulo p になる条件は何か？
• RQ4 H_D(x) mod p における特異 j-不変量の重複度は、類数 h(−D) と ℚ(√−D) における p の分解型とどのように関係するか？
• RQ5 h(−D) ≥ p のとき、非定数の G_p(x) に対して H_D(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p が保証されるか？

主な発見

• 任意の基本的判別式 −D < 0 と素数 p ≤ 11 に対して、h(−D) < p のとき、H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p が成り立つ。
• 任意の素数 p に対して、非正の整数 N_p が存在し、−D < N_p かつ (−D/p) ≠ 1 を満たすとき、H_D(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p を満たす G_p(x) ∈ ℤ[x] が存在し、その次数は h(−D)/p 以下である。
• すべての n > 0 に対して c_D(−pn) ≡ 0 mod p が成り立つ限り、H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p が成り立つ。これは h(−D) < p のとき保証される。
• すべての十分に小さい −D に対して、特に −D < N_p(t) かつ (−D/p) ≠ 1 のとき、H_D(x) mod p における各特異 j-不変量の重複度は t 以上である。
• 特異 j-不変量の重複度に対する下界は、シータ関数のエイゼンスタイン級数成分の漸近的増加に起因し、これは尖点形式の誤差項を上回る。
• 数値的証拠により、p/6 < h(−D) < p かつ (−D/p) ≠ 1 を満たす多くの判別式に対して、S̃_p(x)^2 が H_D(x) mod p を割り切ることが示されたが、反例も存在する（例：D = 239, p = 79）。この場合、p が非分解的であるにもかかわらず重複度は 1 にとどまる。