[論文レビュー] Reductions of triangulated categories and simple-minded collections

Haibo Jin|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、pre-SMCs（pre-simple-minded collections）を用いた三角関手圏における新しい還元プロセスを導入し、元の圏 T に pre-SMC R を含む SMC と、それに対応する新たな三角関手圏 U の間の自然な双対性を構築する。主な結果として、Verdier商を介して、T の部分圏 Z に自然な三角関手構造が定義され、これはsilt reduction duality を一般化し、Buchweitzの定理を SMC 四重対にまで拡張する。

ABSTRACT

Silting and Calabi-Yau reductions are important process in representation theory to construct new triangulated categories from given one, which are similar to Verdier quotient. In this paper, first we introduce a new reduction process of triangulated category, which is analogous to the silting (Calabi-Yau) reduction. For a triangulated category $\cal T$ with a pre-simple-minded collection (=pre-SMC) $\cal R$, we construct a new triangulated category $\cal U$ such that the SMCs in $\cal U$ bijectively correspond to those in $\cal T$ containing $\cal R$. Secondly, we give an analogue of Buchweitz's theorem for the singularity category $\cal T_{ m sg}$ of a SMC quadruple $(\cal T,\cal T^{ m p},\mathbb S, \cal S)$: the category $\cal T_{ m sg}$ can be realized as the stable category of an extriangulated subcategory $\cal F$ of $\cal T$. Finally, we show the SMS (simple-minded system) reduction due to Coelho Simões and Pauksztello is the shadow of our SMC reduction. This is parallel to the result that Calabi-Yau reduction is the shadow of silting reduction due to Iyama and Yang.

研究の動機と目的

• silt および Calabi-Yau 還元に類似した pre-SMC を用いた三角関手圏における新しい還元プロセスを導入すること。
• pre-SMC R を含む元の圏 T の SMC と、還元された圏 U の SMC の間の双対性を確立すること。
• Buchweitz による特異的圏と Cohen-Macaulay 加群の安定圏の同値性を、SMC 四重対の設定に一般化すること。
• Coelho Simões と Pauksztello が定義した SMS 還元が、提案された SMC 還元の「影」として現れることを示し、silt と Calabi-Yau 還元の間の既知の双対性に類似した関係を明らかにすること。

提案手法

• Krull-Schmidt 三角関手圏 T に属する pre-SMC R を用いて、SMC 還元を Verdier 商 U = T / thick(R) として定義する。
• T 内に部分圏 Z = R[≥0]⊥ ∩ ⊥R[≤0] を構成し、条件 (R1) および (R2) の下で、Z が三角関手的であり、U と同値であることを証明する。
• T^p を厚い部分圏とし、S を SMC とする SMC 四重対 (T, T^p, S, S) を導入し、相対 Serre 箇筒 S を通じて相対 Serre 対応性を満たす S を定義する。
• 特異的圏を T_sg = T / T^p と定義し、相対 Serre 箇筒に関して安定である extriangulated 部分圏 F ⊆ T を構成する。
• 導来 Schur 箇筒と随伴対を用いて、導来圏とその商圏の間の三角同値を誘導し、誘導された関手の全忠実性および稠密性を証明する。
• Coelho Simões と Pauksztello の SMS 還元が、silt と Calabi-Yau 還元の双対性に類似した関係を示す SMC 還元の「影」として実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pre-SMC を用いた、silt および Calabi-Yau 還元に類似した三角関手圏における新しい還元プロセスをどのように定義できるか？
• RQ2 部分圏 Z = R[≥0]⊥ ∩ ⊥R[≤0] が Verdier 商 U = T / thick(R) を通じて、元の三角関手構造をどのように持ち継ぐかを保証する条件は何か？
• RQ3 Buchweitz による特異的圏と Cohen-Macaulay 加群の安定圏の同値性を、SMC 四重対の文脈に一般化できるか？
• RQ4 silt と Calabi-Yau 還元の間の既知の双対性に類似した、SMC 還元と SMS 還元の間の双対性が存在するか？

主な発見

• T 内の部分圏 Z = R[≥0]⊥ ∩ ⊥R[≤0] は三角関手的であり、Verdier 商 U = T / thick(R) と同値である。これにより、Z に自然な三角関手構造が定義される。
• R を含む T の SMC と U の SMC の間には双対性が存在し、これは還元が SMC の分類を保存することを示している。
• SMC 四重対の特異的圏 T_sg = T / T^p は、T の extriangulated 部分圏 F の安定圏と三角同値である。これは Buchweitz の定理を一般化する。
• Coelho Simões と Pauksztello が定義した SMS 還元は、SMC 還元の「影」として実現され、silt と Calabi-Yau 還元の双対性に類似した双対性が裏付けられる。
• 導来 Schur 箇筒は、導来圏とその商圏の間で全忠実かつ稠密な関手を誘導し、商圏の間の三角同値の構成を可能にする。
• 結果は Gorenstein dg 代数に応用され、SMC 還元が SMC の構成や [J, Theorem 7.1] のような結果の証明において中心的な役割を果たすことが示された。