[論文レビュー] Reductive group actions

Friedrich Knop, Bernhard Krötz|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、特徴が零の任意の体上での再帰的群作用を統一的に扱う理論を構築し、局所構造定理のk版を導入し、ルナの球面的系とボレル＝ティッツ理論を統合する一般化されたティーツ指数を定義する。主な貢献は、k-球面的根系とk-球面的多様体におけるk-有理点の標準的コンパクト化であり、実群における最大サタケコンパクト化を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we study rationality properties of reductive group actions which are defined over an arbitrary field of characteristic zero. Thereby, we unify Luna's theory of spherical systems and Borel-Tits' theory of reductive groups. In particular, we define for any reductive group action a generalized Tits index whose main constituents are a root system and a generalization of the anisotropic kernel. The index controls to a large extent the behavior at infinity (i.e., embeddings). For k-spherical varieties (i.e., where a minimal parabolic has an open orbit) we obtain explicit (wonderful) completions of the set of rational points. For local fields this means honest compactifications generalizing the maximal Satake compactification of a symmetric space. Our main tool is a k-version of the local structure theorem.

研究の動機と目的

• 代数的閉体でない体上の再帰的群のボレル＝ティッツ理論とルナの球面的多様体理論を統合すること。
• 特徴が零の任意の体上の再帰的群作用の有理性理論を構築すること、特に非分裂または非準可解群に対して。
• 埋め込みの漸近的挙動を制御し、無限遠におけるk-有理点の構造を捉える一般化されたティーツ指数を定義すること。
• k-球面的多様体におけるk-有理点の明示的コンパクト化を構成し、最大サタケコンパクト化を一般化すること。
• 古典的根系と代数的閉体の場合の非可約核を一般化するk-球面的根系とk-非可約核を確立すること。

提案手法

• G-多様体XをNおよびANによる商を用いて、基本的核X_elと非可約核X_anに分解するk版の局所構造定理を導入する。
• Xのkランクをrk_k X = dim A_k(X)として定義する。ここでA_k(X)は最大可約トーラスAの商トーラスである。
• k-中心的価値——AN不変量上で自明なG不変価値——を定義し、Xの双有理的モデルにおけるG不変な完全不変量の分類に用いる。
• 特性格子Ξ_k(X)に作用するWeyl群W_k(X)を構成し、有理数体へのホモモーフィズムHom(Ξ_k(X), ℚ)上のWeylチャネルを導く。
• k-球面的根Σ_k(X)を、K-球面的根系Φ_K(X)を最大可約トーラスAに制限した根系Φ_k(X) ⊂ Ξ_k(X)の基本根の集合として定義する。
• 一般化されたティーツ指数のファンを用いて、k=ℝの場合にX(ℝ)のコンパクト化X_st(ℝ)を構成する。これはG(ℝ)^0に-equivariantなコンパクトなΣ多様体である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルナの球面的多様体理論は、特徴が零の任意の体上の非分裂再帰的群にどのように拡張可能か？
• RQ2 有理性と漸近的挙動を統合する非閉体上での再帰的群に対するティーツ指数の正しい一般化は何か？
• RQ3 球面的多様体におけるk-有理点は無限遠でどのように振る舞い、標準的な方法でコンパクト化可能か？
• RQ4 k-球面的根系と代数的閉包上での古典的球面的根系との関係は何か？
• RQ5 局所体上の任意のk-球面的多様体に対して、対称空間の最大サタケコンパクト化を一般化できるか？

主な発見

• k-球面的根Σ_k(X)は、特性格子Ξ_k(X)に値をとる根系Φ_k(X)をなす。これはK-球面的根系Φ_K(X)を最大可約トーラスAに制限した根系である。
• k=ℝの場合、X(ℝ)のコンパクト化X_st(ℝ)は、G(ℝ)^0に-equivariantなコンパクトなΣ多様体であり、その境界のストラトムはまさにG(ℝ)^0-軌道である。
• Xがk-ウェンダーフルであるとき、コンパクト化に用いるファンは標準的ファンとして取れる。このとき得られるコンパクト化は、対称空間の最大サタケコンパクト化を実現する。
• 実ランク1の場合、コンパクト化X_st(ℝ)は、球面G/Hに応じて、S^2、2-トーラス、実射影平面、またはクラインのボーラーと同相である。
• X_st(ℝ)の境界Y(ℝ)は、実局所を異なるG(ℝ)^0-軌道に対応する成分に分離し、Y(ℝ)に沿って切断すると、ディスクまたはモビウスの帯の非交和が得られ、軌道構造が反映される。
• 水平多様体の場合、コンパクト化は非可縮的（例えばクラインのボーラー）である可能性があり、閉じた軌道に沿って切断すると非自明な被覆が得られ、実局所の非自明な位相的性質を示す。