[論文レビュー] Redundant blow-ups and Cox rings of rational surfaces

DongSeon Hwang, Jinhyung Park|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有理的表面の冗長なブロー・アップを導入し、その操作の下でコックス環の有限生成性が保存されることを証明する。有限生成なコックス環をもつ、アンチCanonical Iitaka次元が 0 および $-\infty$ である、任意に大きなピカール数をもつ新しい有理的表面の族を構成する。また、有理的特異点をもつデル・ペッツォ表面の最小解体として得られない、アンチCanonical因子が大きい有理的表面も構成する。

ABSTRACT

We introduce the notion of redundant blow-ups of rational surfaces based on Sakai's work, and show that having a finitely generated Cox ring is invariant under the redundant blow-up. As an application, we discuss the birational structure of rational surfaces with finitely generated Cox rings. In particular, we construct series of new examples of rational surfaces with anticanonical Iitaka dimension 0 and $-\infty$ of arbitrarily large Picard number whose Cox rings are finitely generated. This method is also applied to construct rational surfaces with big anticanonical divisor that are not minimal resolutions of del Pezzo surfaces containing at worst rational singularities.

研究の動機と目的

• Sakaiの枠組みに基づいて、有理的表面の冗長なブロー・アップを定義し、それらを研究すること。
• 冗長なブロー・アップの下でコックス環の有限生成性が不変であるかを調査すること。
• 有限生成なコックス環をもつ有理的表面の被約的構造を探索すること。
• アンチCanonical Iitaka次元が 0 および $-\infty$ で、任意に大きなピカール数をもつ新しい有理的表面の族を構成すること。
• 有理的特異点をもつデル・ペッツォ表面の最小解体として得られない、アンチCanonical因子が大きい有理的表面を生成すること。

提案手法

• 有理的表面における標準的ブロー・アップの一般化として、冗長なブロー・アップの概念を導入する。
• Sakaiの枠組みを用いて、冗長なブロー・アップの下でのコックス環の振る舞いを定義し分析する。
• 冗長なブロー・アップの下でのコックス環の有限生成性の不変性を応用し、新しい表面族を構成する。
• 被約的幾何学的手法を用いて、構成された表面のアンチCanonical Iitaka次元およびピカール数を分析する。
• 既知の表面クラスに冗長なブロー・アップを適用することで、アンチCanonical因子が大きい表面を構成する。
• 結果として得られる表面の特異点および被約的性質を分析し、それが有理的特異点をもつデル・ペッツォ表面の最小解体でないことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的表面の冗長なブロー・アップの下でも、コックス環の有限生成性は不変のままであるか？
• RQ2 冗長なブロー・アップを用いて、アンチCanonical Iitaka次元が 0 および $-\infty$ で、任意に大きなピカール数をもつ有理的表面を構成できるか？
• RQ3 有理的特異点をもつデル・ペッツォ表面の最小解体として得られない、アンチCanonical因子が大きい有理的表面は存在するか？
• RQ4 冗長なブロー・アップを用いて構成された、有限生成なコックス環をもつ有理的表面の被約的構造は何か？
• RQ5 冗長なブロー・アップの構成の下で、アンチCanonical Iitaka次元はどのように振る舞うか？

主な発見

• 冗長なブロー・アップの下でもコックス環は有限生成のままであり、この操作の下での不変性が確立された。
• アンチCanonical Iitaka次元が 0 および $-\infty$ で、ピカール数が任意に大きな新しい有理的表面の族が構成された。
• 構成された表面は有限生成なコックス環をもつため、このような不変量をもつ有理的表面のクラスにおける新規な例を提供する。
• この方法により、有理的特異点をもつデル・ペッツォ表面の最小解体として得られない、アンチCanonical因子が大きい有理的表面が得られた。
• 有限生成性がアンチCanonical Iitaka次元が $-\infty$ の場合でさえ保存されることを、構成により確認した。
• 結果として、従来の最小またはデル・ペッツォ型のケースに限られていた、有限生成なコックス環をもつ有理的表面のクラスが拡張された。