[論文レビュー] Refined global Gross-Prasad conjecture on special Bessel periods and Boecherer's conjecture

Masaaki Furusawa, Kazuki Morimoto|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ における特別なベッセル周期を用いて、$ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ の中心値に対する明示的なイチノ＝イケダ型の公式を、定性的および離散的系列条件の下で証明する。この結果により、この場合におけるリウの精密化されたグロス＝プラサド予想が裏付けられ、また、第二次シーゲル尖点形式に関するベーチャーの予想が系として得られる。

ABSTRACT

In this paper we pursue the refined global Gross-Prasad conjecture for Bessel periods formulated by Yifeng Liu in the case of special Bessel periods for $\mathrm{SO}\left(2n+1 ight) imes\mathrm{SO}\left(2 ight)$. Recall that a Bessel period for $\mathrm{SO}\left(2n+1 ight) imes\mathrm{SO}\left(2 ight)$ is called special when the representation of $\mathrm{SO}\left(2 ight)$ is trivial. Let $π$ be an irreducible cuspidal tempered automorphic representation of a special orthogonal group of an odd dimensional quadratic space over a totally real number field $F$ whose local component $π_v$ at any archimedean place $v$ of $F$ is a discrete series representation. Let $E$ be a quadratic extension of $F$ and suppose that the special Bessel period corresponding to $E$ does not vanish identically on $π$. Then we prove the Ichino-Ikeda type explicit formula conjectured by Liu for the central value $L\left(1/2,π ight)L\left(1/2,π imesχ_E ight)$, where $χ_E$ denotes the quadratic character corresponding to $E$. Our result yields a proof of Boecherer's conecture on holomorphic Siegel cusp forms of degree two which are Hecke eigenforms.

研究の動機と目的

• $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ における特別なベッセル周期を用いて、$ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ の中心値に対する明示的公式を、楊峰劉が予想した通りに確立すること。
• 定性的および離散的系列条件の下で、$ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ における特別なベッセル周期に対する精密化されたグロス＝プラサド予想を拡張すること。ただし、$ \mathrm{SO}(2) $-表現は自明であるものとする。
• 第二次シーゲル尖点形式で、ヘッケ固有関数である正則なシーゲル尖点形式のスピン角 $ L $-関数の中心臨界値に関するベーチャーの予想を証明すること。
• 定性的および離散的系列条件の下で、中心 $ L $-値が非ゼロであるための必要十分条件が、特別なベッセル周期が恒等的にゼロでないことに他ならないことを確立すること。

提案手法

• $ \mathrm{SO}(2n+1) $ 上の自動形式的表現を、$ \widetilde{\mathrm{Sp}}_n $ 上の一般的表現に結びつけるために、グローバル・シータ対応および降下法を用いる。
• 局所ラングランズ対応および $ L $-パラメータの理論を用いて、自動形式的表現の局所成分を比較する。
• ハウの双対性および定性的 $ L $-パケッジにおける一般的要素の一意性を用い、$ \theta(\pi_v, \psi_v) $ の一般的性から局所同型 $ \pi_v \simeq \pi'_v $ を導出する。
• ベッセル周期の非ゼロ性を用いて、$ \mathrm{GL}_{2n} $ への弱い上げおよびグローバル降下を経て、中心 $ L $-値の非ゼロ性を導出する。
• ディクソン、ピタル、サハ、シュミットの研究を応用し、結果を第二次シーゲルモジュラー形式に結びつける。
• アーチャー [3] の定理 9.5.4 が $ \mathcal{G}_n $ に属する群について成り立つものと仮定し、$ \pi $ に対する弱い上げと多重度1の性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特別なベッセル周期を用いた $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ における中心 $ L $-値 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ に対して、イチノ＝イケダ型の公式が成り立つかどうか。
• RQ2 自動形式的表現 $ \pi $ が定性的であり、そのアーチメデス的成分が離散的系列であると仮定した場合、特別なベッセル周期に対する精密化されたグローバル・グロス＝プラサド予想を証明できるか。
• RQ3 特別なベッセル周期が非ゼロであれば、中心 $ L $-値 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ も非ゼロであると示せるか。
• RQ4 第二次シーゲル尖点形式のスピン角 $ L $-関数の中心臨界値に関するベーチャーの予想は、この結果から導けるか。
• RQ5 グローバル・シータ上昇 $ \theta(\pi, \psi) $ が $ \psi_\lambda $-一般的であるとき、$ \pi $ がタイプ $ E $ の特別なベッセルモデルを持つための条件は何か。

主な発見

• 本稿は、$ \pi $ が定性的であり、そのアーチメデス的成分が離散的系列であると仮定した下で、$ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $ における特別なベッセル周期を用いて、$ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ のイチノ＝イケダ型の公式を証明する。
• 特別なベッセル周期が非ゼロであれば、中心 $ L $-値 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $ も非ゼロであることが示され、この場合における精密化されたグロス＝プラサド予想が裏付けられる。
• アーチャーの弱い上げに関する予想を仮定した下で、ベッセル周期が恒等的にゼロであれば、中心 $ L $-値も必ずゼロであることが証明される。
• 著者らは、正則な第二次シーゲル尖点形式でヘッケ固有関数であるものについて、スピン角 $ L $-関数の中心臨界値に関するベーチャーの予想を証明する。
• グローバル降下法およびシータ対応を用いて、ほぼ同等の一般的自動形式的表現 $ \pi^\circ $ を構成し、$ L $-値に関する既知の結果を適用可能にする。
• 局所 $ L $-パラメータおよび定性的 $ L $-パケッジにおける一般的表現の一意性を用いて、すべての場所 $ v $ で $ \pi_v \simeq \pi'_v $ が成り立つことから、$ \pi \simeq \pi' $ をグローバルに示す。