[論文レビュー] Refined Tail Asymptotic Properties for the $M^X/G/1$ Retrial Queue

Bin Liu, Jie Min+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定期的変動する尾尾の下で $M^X/G/1$ 再試行待ち行列の尾尾漸近的性質を精緻化し、サービス時間のバッチサイズより重いという従来の条件を排除する。再試行待ち行列と標準待ち行列の尾尾確率の差の精緻な漸近的特徴づけを確立し、バッチサイズがサービス時間と等しいかそれ以上に重い場合でも同値性を証明する。生成関数解析とタウバリアン定理を用いて明示的な尾尾減衰率を導出する。

ABSTRACT

In the literature, retrial queues with batch arrivals and heavy service times have been studied and the so-called equivalence theorem has been established under the condition that the service time is heavier than the batch size. The equivalence theorem provides the distribution (or tail) equivalence between the total number of customers in the system for the retrial queue and the total number of customers in the corresponding standard (non-retrial) queue. In this paper, under the assumption of regularly varying tails, we eliminate this condition by allowing that the service time can be either heavier or lighter than the batch size. The main contribution made in this paper is an asymptotic characterization of the difference between two tail probabilities: the probability of the total number of customers in the system for the $M^X/G/1$ retrial queue and the probability of the total number of customers in the corresponding standard (non-retrial) queue. The equivalence theorem by allowing a heavier batch size is another contribution in this paper.

研究の動機と目的

• バッチサイズがサービス時間と等しいかそれ以上に重い場合に、$M^X/G/1$ 再試行待ち行列と標準待ち行列の間の尾尾同値性に関する文献のギャップを埋めること。
• 既存の再試行待ち行列の同値定理において、サービス時間がバッチサイズより重いという制限的な仮定を排除すること。
• 再試行待ち行列の尾尾確率とその非再試行対応物との差の精緻な漸近的特徴づけを提供すること。
• 定期的変動する尾尾仮定の下で同値定理を確立し、バッチサイズの尾尾がサービス時間の尾尾よりも重い場合を含む。
• 確率生成関数の解析的技術を用いて、$M^X/G/1$ 再試行待ち行列の定常待ち行列長分布の明示的尾尾減衰率を導出すること。

提案手法

• 定常待ち行列長 $L_{\nu}$ の確率生成関数 $Ez^{L_{\nu}}$ を研究するために生成関数解析と解析接続を用いる。
• 生成関数が $z \uparrow 1$ に近いときの振る舞いから、$z=1$ における $\Delta$-解析的性質とタウバリアン定理を適用し、尾尾漸近的性質を抽出する。
• 確率的分解を用いて、再試行待ち行列長を標準待ち行列長と独立な確率変数の和として表現し、尾尾の比較を可能にする。
• パrameter $v$, $u$, および $\Gamma(1-u)$ を含む級数展開を用いて、$z=1$ の近傍における $1 - X(z)$ および $\beta^{(e)}(\lambda - \lambda X(z))$ の漸近展開を導出する。
• 生成関数の構造を用いて、サービス時間およびバッチサイズ分布の正則変動性に基づき、尾尾展開における主要項（特に $j^{-u}$ および $j^{-u-1}$ 項）を特定する。
• 補題 8.2 を用いて、生成関数の漸近的性質を $P\{L_{\infty} = j\}$ の尾尾確率の減衰率に翻訳する。$j \to \infty$ のとき。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バッチサイズの尾尾がサービス時間の尾尾と等しいかそれ以上に重い場合、$M^X/G/1$ 再試行待ち行列の尾尾漸近的性質が、対応する標準 $M^X/G/1$ 待ち行列と一致する条件は何か？
• RQ2 再試行待ち行列の同値定理は、サービス時間がバッチサイズより重いという範囲を超えて、特に定期的変動する尾尾仮定の下で拡張可能か？
• RQ3 バッチサイズ分布の尾尾がサービス時間の尾尾よりも重い場合、再試行待ち行列と標準待ち行列の尾尾確率の正確な漸近的差は何か？
• RQ4 $M^X/G/1$ 再試行待ち行列の定常待ち行列長分布の尾尾減衰率は、サービス時間およびバッチサイズ分布の正則変動パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 閉形式解が得られない場合、明示的な尾尾漸近的性質を導出するための解析的技術は何か？

主な発見

• 本稿は、バッチサイズの尾尾がサービス時間の尾尾よりも重い場合でも、$M^X/G/1$ 再試行待ち行列の尾尾漸近的性質が標準 $M^X/G/1$ 待ち行列と一致することを確立し、従来の仮定を超えて同値定理を拡張した。
• 待ち行列長分布の主な尾尾減衰率は $j^{-u}$ であり、$u$ はサービス時間分布の正則変動指数で、明示的な係数は $\frac{\rho}{1-\rho} \frac{v^u}{\chi_1} \Gamma(1-u)$ である。
• $j \to \infty$ のとき、尾尾確率 $P\{L_{\infty} = j\}$ は $\frac{\rho}{1-\rho} \frac{v^u}{\chi_1} \Gamma(1-u) j^{-u} + w_{10} j^{-u-1} + \sum_{(k_1,k_2) \in S_2} l_{k_1,k_2} j^{-k_1(a-1) - k_2(u-1) - 1} + \sum_{k \in S_3} l_k j^{-k(u-1) - 1} + o(j^{-u-1})$ に漸近的に減少する。
• 分布は、導出された漸近的展開と尾尾行動への補題 8.1 の適用のおかげで、最終的になおる。
• 同値定理は、バッチサイズの尾尾がサービス時間の尾尾よりも重い場合を含め、定期的変動する尾尾仮定の下でも成立することが証明された。これは、従来の文献における未解決問題であった。
• 解析により、生成関数 $Ez^{L_{\infty}}$ が $z=1$ で $\Delta$-解析的であることが確認され、タウバリアン定理を用いて正確な尾尾漸近的性質を抽出できることが示された。