[論文レビュー] Refined unramified homology of schemes

Stefan Schreieder|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ボレル–ムーアホモロジー、代数的サイクル、古典的非分岐ホモロジーを統一する新しい不変量である精錬された非分岐ホモロジーを導入する。有限生成体上のℓ-adicチャウ群がこのホモロジーによって計算可能であることを証明し、代数的に閉体上では、特異的スキームおよび任意のコディメンジョンに一般化された、サイクルに関する先行研究を拡張する。また、ねじれサイクルの代数的同値類に関する有限フィルトレーションを確立し、その各gradedな部分が高次アーベル–ジャコビ不変量によって支配されることを示す。

ABSTRACT

We introduce refined unramified cohomology of algebraic schemes and show that it interpolates between Borel--Moore homology, algebraic cycles, and classical unramified cohomology. We prove that over finitely generated fields, l-adic Chow groups of algebraic schemes are computed by refined unramified cohomology. Over algebraically closed fields, our approach simplifies and generalizes to cycles of arbitrary codimensions on possibly singular schemes, previous results of Bloch--Ogus, Colliot-Thelene--Voisin, Kahn, Voisin, and Ma that concerned cycles of low (co-)dimensions on smooth projective varieties. As an application, we prove Green's conjecture for torsion cycles modulo algebraic equivalence on complex algebraic schemes: there is a finite filtration on torsion cycles modulo algebraic equivalence such that the graded quotients are determined by higher Abel--Jacobi invariants.

研究の動機と目的

• ボレル–ムーアホモロジー、代数的サイクル、古典的非分岐ホモロジーの間を補間するコホモロジー的枠組みを構築すること。
• 従来、滑らかで射影的多様体および低コディメンジョンに限定されていた代数的サイクルに関する結果を、任意のコディメンジョンおよび特異的スキームに一般化すること。
• 複素代数的スキーム上のねじれサイクルの代数的同値類に有限フィルトレーションを確立すること。
• このフィルトレーションのgradedな部分が高次アーベル–ジャコビ不変量によって決定されることを示すこと。
• 有限生成体上のℓ-adicチャウ群が精錬された非分岐ホモロジーによって計算可能であることを証明すること。

提案手法

• サイクル理論的条項を用いた非分岐ホモロジーの精錬として、代数的スキームのための新しい不変量として精錬された非分岐ホモロジーを導入する。
• ℓ-adicホモロジーの構造とサイクル類写像を用いて、有限生成体上の精錬された非分岐ホモロジーとℓ-adicチャウ群を関連付ける。
• 双対性および特異点の解消技術を用いて、滑らかでないスキームへの結果の拡張を行う。
• 高次アーベル–ジャコビ写像を用いて、ねじれサイクルの代数的同値類の構造を分析する。
• 精錬された非分岐ホモロジー群を用いて、ねじれサイクルの代数的同値類に有限フィルトレーションを構成する。
• このフィルトレーションのgradedな部分が、高次アーベル–ジャコビ不変量の像に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分岐ホモロジーは、古典的不変量を超えて代数的サイクルに関する情報を捉えるために、どのように精錬可能か？
• RQ2 精錬された非分岐ホモロジーは、有限生成体上のℓ-adicチャウ群をどの程度計算可能か？
• RQ3 滑らかで射影的多様体上の低コディメンジョンのサイクルに関する結果は、任意のコディメンジョンおよび特異的スキームに一般化可能か？
• RQ4 ねじれサイクルの代数的同値類に、高次アーベル–ジャコビ不変量によって支配されるgradedな部分を持つ有限フィルトレーションが存在するか？
• RQ5 精錬された非分岐ホモロジーは、ボレル–ムーアホモロジー、代数的サイクル、古典的非分岐ホモロジーをどのように統合するか？

主な発見

• 精錬された非分岐ホモロジーは、ボレル–ムーアホモロジー、代数的サイクル、古典的非分岐ホモロジーの間を補間する統一的な枠組みを提供する。
• 有限生成体上では、代数的スキームのℓ-adicチャウ群が精錬された非分岐ホモロジーによって計算可能である。
• 代数的に閉体上では、理論が以前のサイクルに関する結果を任意のコディメンジョンおよび特異的スキームに一般化する。
• 複素代数的スキーム上では、ねじれサイクルの代数的同値類に有限フィルトレーションが存在する。
• このフィルトレーションのgradedな部分は高次アーベル–ジャコビ不変量によって決定され、グリーンの予想がこの文脈で確認される。
• ブロッハ–オギュス、コリオ・ティレーヌ–ヴォイジン、カーン、ヴォイジン、マの先行研究を単純化および拡張するアプローチである。