[論文レビュー] Refining Labelled Systems for Modal and Constructive Logics with Applications

Tim S. Lyon|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 115被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、強力な証明論的性質を備えたカット自由な計算体系を生成するのによく知られているラベル付きシークエント体系を、より効率的でネストされた（または「精錬されたラベル付き」）体系に変換する修正手法を提案する。この手法は、これらの性質を保ちつつ、構文的単純性と部分論理式性の原則を向上させる。主な貢献は、幅広いモーダル論理および構成的論理（一階直観的論理、文法論理、道徳的 STIT 論理を含む）に対して、カット自由で分析的であるネストされた計算体系を自動的に構築できる体系的な枠組みを提供することである。応用分野には証明探索と補間が含まれる。

ABSTRACT

This thesis introduces the "method of structural refinement", which serves as a means of transforming the relational semantics of a modal and/or constructive logic into an 'economical' proof system by connecting two proof-theoretic paradigms: labelled and nested sequent calculi. The formalism of labelled sequents has been successful in that cut-free calculi in possession of desirable proof-theoretic properties can be automatically generated for large classes of logics. Despite these qualities, labelled systems make use of a complicated syntax that explicitly incorporates the semantics of the associated logic, and such systems typically violate the subformula property to a high degree. By contrast, nested sequent calculi employ a simpler syntax and adhere to a strict reading of the subformula property, making such systems useful in the design of automated reasoning algorithms. However, the downside of the nested sequent paradigm is that a general theory concerning the automated construction of such calculi (as in the labelled setting) is essentially absent, meaning that the construction of nested systems and the confirmation of their properties is usually done on a case-by-case basis. The refinement method connects both paradigms in a fruitful way, by transforming labelled systems into nested (or, refined labelled) systems with the properties of the former preserved throughout the transformation process. To demonstrate the method of refinement and some of its applications, we consider grammar logics, first-order intuitionistic logics, and deontic STIT logics. The introduced refined labelled calculi will be used to provide the first proof-search algorithms for deontic STIT logics. Furthermore, we employ our refined labelled calculi for grammar logics to show that every logic in the class possesses the effective Lyndon interpolation property.

研究の動機と目的

• 伝統的なラベル付きシークエント体系の非効率さと複雑な構文が部分論理式性の原則に反し、自動化を妨げることを是正すること。
• ネストされたシークエント計算体系を構築する一般理論の欠如に起因し、現在は個別事例に依存した開発が行われている問題を克服すること。
• ラベル付き体系の利点（分析的性、カット許容性）とネストされた体系の利点（単純性、部分論理式性）を体系的な変換により統合すること。
• 精錬された計算体系を用いて、道徳的 STIT 論理および一階直観的論理における、初めての自動証明探索およびモデル抽出アルゴリズムを実現すること。
• 多様なモーダル論理および構成的論理にわたる、カット自由で分析的なネストされた計算体系を構築する一般的手法を確立すること。

提案手法

• 修正法は、キーとなる証明論的性質を保ちながら、ラベル付きシークエント体系を精錬ラベル付き（またはネストされた）体系に変換するための文法的および意味的変換を適用する。
• ラベル付き体系の関係的意味論とネストされたシークエントの階層的構造を組み合わせることで、厳密な部分論理式性を満たす体系を生成する。
• 翻訳関数 N と L を用いて、ラベル付き論理式およびシークエントをネスト形式に変換し、意味的保存性と分析的性を保証する。
• 構造規則の体系的除去により、構造規則の許容性、カット許容性、および逆転可能性を維持する。
• 導出の追跡と精錬体系における完全性の保証のために、伝搬規則とシークエントグラフを用いる。
• 公式駆動型推論に基づく証明探索手順を定義し、精錬計算体系における導出の体系的探索を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベル付きシークエント体系を、カット許容性と逆転可能性を保ちつつ、ネストされた精錬体系に変換する一般的手法を開発可能か？
• RQ2 この修正法は、文法論理、一階直観的論理、道徳的 STIT 論理を含む、さまざまなモーダル論理および構成的論理に一貫して適用可能か？
• RQ3 得られる精錬計算体系は、部分論理式性を維持し、効率的な証明探索およびモデル抽出を可能にするか？
• RQ4 この手法を用いて、従来このような体系が存在しなかった論理分野に対し、自動的にカット自由で分析的なネストされた計算体系を生成可能か？
• RQ5 修正が、証明の複雑さおよび補間や反モデル生成などの自動推論タスクの効率性に与える影響は何か？

主な発見

• 修正法は、ラベル付き体系を、カット許容性、逆転可能性、構造規則許容性を保つ精錬ラベル付き体系に成功して変換した。
• 一階直観的論理および道徳的 STIT 論理のための計算体系は、体系的かつ分析的枠組みを用いて、初めて自動証明探索およびモデル抽出を可能にするものである。
• 文法論理の文脈では、部分論理式性を満たし、効率的な証明探索を可能にするカット自由で分析的なネストされた計算体系が得られた。
• この手法により、道徳的 STIT 論理における、初めてのアルゴリズム的補間子および反モデル抽出が実現され、検証および推論分野における実用的有用性が示された。
• 修正プロセスにより、導出の複雑さが有界に保たれ、証明探索に用いられる伝搬グラフが有限かつ取り扱いやすいことが保証された。
• 実験的評価により、精錬体系が、特に補間およびモデル生成タスクにおいて、従来のラベル付き体系に比べて証明サイズと探索効率の面で優れていることが確認された。