[論文レビュー] Reflected BSDEs when the obstacle is not right-continuous and optimal stopping

Miryana Grigorova, Peter Imkeller+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、右上半連続であるが必ずしも右連続でない障害をもつ反射確率的後向き微分方程式（RBSDE）の解の存在および一意性を、最適停止理論、Mertens分解、一般化された伊藤の公式の道具を用いて確立する。さらに、これらのRBSDEをf-条件付き期待値に基づく最適停止問題と関連づけ、価値関数を特定し、追加の正則性条件のもとで最適停止時刻の存在を証明する。

ABSTRACT

In the first part of the paper, we study reflected backward stochastic differential equations (RBSDEs) with lower obstacle which is assumed to be right upper-semicontinuous but not necessarily right-continuous. We prove existence and uniqueness of the solutions to such RBSDEs in appropriate Banach spaces. The result is established by using some tools from the general theory of processes such as Mertens decomposition of optional strong (but not necessarily right-continuous) supermartingales, some tools from optimal stopping theory, as well as an appropriate generalization of It{ô}'s formula due to Gal'chouk and Lenglart. In the second part of the paper, we provide some links between the RBSDE studied in the first part and an optimal stopping problem in which the risk of a financial position $ξ$ is assessed by an $f$-conditional expectation $\mathcal{E}^f(\cdot)$ (where $f$ is a Lipschitz driver). We characterize the "value function" of the problem in terms of the solution to our RBSDE. Under an additional assumption of left upper-semicontinuity on $ξ$, we show the existence of an optimal stopping time. We also provide a generalization of Mertens decomposition to the case of strong $\mathcal{E}^f$-supermartingales.

研究の動機と目的

• 障害が右上半連続であるが右連続でない場合の反射BSDE理論を拡張すること。
• これらの緩い連続性仮定のもとで、適切なバナッハ空間における解の存在および一意性を確立すること。
• RBSDEの解を、f-条件付き期待値によってリスクを評価する最適停止問題に関連づけること。
• 停止時刻に沿った左上半連続性の追加条件のもとで、最適停止時刻の存在を証明すること。
• Mertens分解を強いE^f-下昇マーティングルに一般化し、RBSDEに対して比較原理を確立すること。

提案手法

• 動的リスク測定における本質的上界の特徴づけを含む、最適停止理論の道具を用いる。
• 強いオプショナル下昇マーティングルのMertens分解を、右連続でない過程を取り扱うために適用する。
• 強いオプショナル半マルティンゲールに対して、Gal’choukおよびLenglartによる一般化された伊藤の公式を用いる。
• 特にオプショナル分解および予測可能補正項に注目した、確率過程の一般理論を用いる。
• f-条件付き期待値およびE^f-下昇マーティングルの理論を用いて、動的リスク測度をモデル化する。
• ペナルティ法を用いて解を構成し、適切なバナッハ空間における収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 障害が右連続でないが右上半連続である場合、RBSDEは解けるか？
• RQ2 このようなRBSDEの解は、f-条件付き期待値に基づく最適停止問題とどのように関係するか？
• RQ3 f-期待値に基づくリスク最小化問題において、最適停止時刻が存在する条件は何か？
• RQ4 Mertens分解は強いE^f-下昇マーティングルに一般化可能か？
• RQ5 障害が右連続でない場合、解が障害の上に保たれるのを維持する非減少過程の役割は何か？

主な発見

• 右上半連続な障害をもつRBSDEは、障害が右連続でない場合でも、適切なバナッハ空間において一意な解をもつ。
• 最適停止問題の価値関数は、ドライバーfおよび障害ξをもつRBSDEの解の第一成分として特徴づけられる。
• 過程ξが停止時刻に沿って左上半連続である場合、最適停止時刻が存在する。
• 左上半連続性の仮定なしに一般の場合にもε-最適停止時刻が存在する。
• 強いE^f-下昇マーティングルに対してMertens分解の一般化が確立され、古典的結果が非線形期待値へ拡張された。
• 研究されたRBSDEに対して比較原理が証明され、適切な条件下で順序の保存が保証される。