[論文レビュー] Regular integers modulo n

László Tóth|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、整数 $n$ を法とする正規整数、すなわち $a^2x \equiv a \pmod{n}$ を満たす $x$ が存在する整数 $a$ の算術的性質を調査する。$\varrho(n)$ を $n$ を法とするこのような整数の個数とするとき、$\varrho(n)$ は乗法的であり、$\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$ で与えられることを確立する。主な貢献は、平均順序 $\sum_{n \leq x} \varrho(n) = \frac{1}{2} A x^2 + O(x \log x)$ および $A \approx 0.8815$ の導出であり、さらに $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$、$1/\varrho(n)$ の極値順序を同定し、$\liminf_{n \to \infty} \varrho(n) \log \log n / n = e^{-\gamma}$ および $\limsup_{n \to \infty} \varrho(n)/( \phi(n) \log \log n) = e^{\gamma}$ を示す。これらの結果は、初等的および解析的整数論的手法を用いて得られている。

ABSTRACT

Let $n=p_1^{ν_1}... p_r^{ν_r} >1$ be an integer. An integer $a$ is called regular (mod $n$) if there is an integer $x$ such that $a^2x\equiv a$ (mod $n$). Let $\varrho(n)$ denote the number of regular integers $a$ (mod $n$) such that $1\le a\le n$. Here $\varrho(n)=(ϕ(p_1^{ν_1})+1)... (ϕ(p_r^{ν_r})+1)$, where $ϕ(n)$ is the Euler function. In this paper we first summarize some basic properties of regular integers (mod $n$). Then in order to compare the rates of growth of the functions $\varrho(n)$ and $ϕ(n)$ we investigate the average orders and the extremal orders of the functions $\varrho(n)/ϕ(n)$, $ϕ(n)/\varrho(n)$ and $1/\varrho(n)$.

研究の動機と目的

• 初等的および環論的性質を用いて、整数 $n$ を法とする正規整数を特徴付ける。
• $\varrho(n)$、$\phi(n)$ およびそれらの比 $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$、$1/\varrho(n)$ の成長率を分析する。
• $\varrho(n)$ の平均順序を特定し、その和関数における誤差項を精緻化する。
• $\varrho(n)/\phi(n)$ および $1/\varrho(n)$ の極値順序を確立し、$e^{\gamma}$ や $A \approx 0.8815$ といった古典的定数と関連付ける。

提案手法

• 正規整数の6通りの同値な特徴付け（$a^2x \equiv a \pmod{n}$、$\gcd(a,n) \mid\mid n$、$a^{\phi(n)+1} \equiv a \pmod{n}$ などを含む）を証明する。
• $\varrho(n)$ の乗法的構造を用い、$d \mid\mid n$ が単位的因子を表すとして、$\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$ と表現する。
• 既知の $\phi(n)/n$ および $1/\phi(n)$ を含む和に関する漸近的結果を適用し、特にワルフィッシュの推定 $\sum_{n \leq x} \frac{\phi(n)}{n} = \frac{6}{\pi^2}x + O((\log x)^{2/3}(\log \log x)^{4/3})$ を用いる。
• ディリクレ畳み込みと乗法的数論的関数を用い、$1/\varrho(n)$ を単位的因子に関する和に分解することで、既知のオイラー積推定を適用可能にする。
• 乗法的関数の理論およびオイラー積の収束性を用いて、$\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ の漸近展開における定数 $D = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} \prod_p \left(1 - \frac{p(p-1)}{p^2 - p + 1} \sum_{\nu=1}^\infty \frac{1}{p^\nu (p^\nu - p^{\nu-1} + 1)} \right)$ を導出する。
• 文献[11]における乗法的関数の極値順序に関する結果を用い、$\varrho(n)/\phi(n)$ および $\varrho(n)/n$ の $\liminf$ と $\limsup$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\varrho(n)$、すなわち $n$ を法とする正規整数の個数の平均順序は何か？
• RQ2 $\varrho(n)/\phi(n)$、$\phi(n)/\varrho(n)$、$1/\varrho(n)$ の極値順序は何か？
• RQ3 $\varrho(n)$ と $\phi(n)$ の成長率の比較、特に $\liminf$ および $\limsup$ の観点から、どのように異なるか？
• RQ4 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ の正確な漸近的展開は何か？ その主要項を支配する定数は何か？

主な発見

• $\varrho(n)$ の平均順序は、$\sum_{n \leq x} \varrho(n) = \frac{1}{2} A x^2 + O(x \log x)$ を満たし、ここで $A \approx 0.8815$ は二次形式の類数定数である。
• $\varrho(n)$ は乗法的であり、$\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$ を満たし、特に $\varrho(p^\nu) = \phi(p^\nu) + 1 = p^\nu - p^{\nu-1} + 1$ である。
• $\varrho(n)$ の最小順序は、$\liminf_{n \to \infty} \frac{\varrho(n) \log \log n}{n} = e^{-\gamma}$ を満たし、これは $\phi(n)$ の最小順序と一致する。
• $\varrho(n)/\phi(n)$ の最大順序は、$\limsup_{n \to \infty} \frac{\varrho(n)}{\phi(n) \log \log n} = e^{\gamma}$ を満たし、特定の $n$ に対して $\varrho(n)$ が $\phi(n)$ より著しく大きい可能性があることを示す。
• 和 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ は、$D \log x + E + O\left(\frac{\log^9 x}{x}\right)$ の漸近的展開を持つ。ここで $D$ は $\zeta$-関数と局所因子を含む収束するオイラー積である。
• 平均順序における誤差項が $O(x \log x)$ に改善され、以前の $O(x \log^3 x)$ や $O(x \log^2 x)$ の境界を精緻化している。