[論文レビュー] Regular networks are determined by their trees

Stephen J. Willson|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2009

Interconnection Networks and Systems参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正則な系統樹的ネットワークが、それらが表示する根付き木の集合によって一意に特定されることを証明している。本論文では、木の整合性条件を用いて、繰り返しクラスタとその適切な子を特定することで、表示する木から正則ネットワークを構成的に再構築するアルゴリズム「MaximumProperChild」を導入し、正則ネットワークに対してTr(N) = Tr(M)ならばN = Mが成り立つことを確立している。

ABSTRACT

A rooted acyclic digraph N with labelled leaves displays a tree T when there exists a way to select a unique parent of each hybrid vertex resulting in the tree T. Let Tr(N) denote the set of all trees displayed by the network N. In general, there may be many other networks M such that Tr(M) = Tr(N). A network is regular if it is isomorphic with its cover digraph. This paper shows that if N is regular, there is a procedure to reconstruct N given Tr(N). Hence if N and M are regular networks and Tr(N) = Tr(M), it follows that N = M, proving that a regular network is uniquely determined by its displayed trees.

研究の動機と目的

• 系統樹的ネットワークが表示する木の集合から一意に再構築可能となる条件を確立すること。
• 非正則ネットワークでは同じ表示木を共有する場合があり、その結果再構築が一意でないという問題に対処すること。
• クラスタが一意に定まり、クラスタの包含関係が有向パスの存在と正確に一致するという定義に基づく正則ネットワークが、表示する木によって一意に決定されることを証明すること。
• Tr(N)、すなわち表示する木の集合から、ネットワーク全体の構造を回復する構成的アルゴリズムを開発すること。
• 遺伝子系統樹からのネットワーク再構築が可能で一意となる生物学的および数学的条件を明確にすること。

提案手法

• 正則ネットワークを、各頂点が一意の子孫クラスタを持ち、クラスタの包含関係が有向パスの存在と正確に一致するものとして定義する。
• クラスタCのための「適切な木」という概念を導入する：Tr(N)に属する木で、Cが出現し、かつその親もNにおけるクラスタであるもの。
• 各クラスタCに対して、Cが出現し、かつその親がNにおけるクラスタであるような木の集合を、ProperTr(C)と定義する。
• Cの適切な木における子を ProperCh(C) とし、その中から最大のもの集合を MaxProperCh(C) として抽出する。
• MaxProperCh(C) に対応する頂点を追加し、Cから各最大子に弧を張ることで、段階的にネットワークを構築する。この際、元のネットワーク構造と整合性を保つ。
• 得られるネットワークM_kが元の正則ネットワークNと同型であることを証明し、Tr(N)からNを再構築できたことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系統樹的ネットワークは、それらが表示する木の集合から一意に再構築可能か？
• RQ2 表示木の集合Tr(N)が元のネットワークNを回復するのに十分となる条件は何か？
• RQ3 クラスタが一意で、クラスタの包含関係が有向パスに正確に一致するという正則性条件が、Tr(N)からの一意な再構築を保証するか？
• RQ4 Tr(N)から正則ネットワークを再構築できる構成的アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 正則性が成り立たない場合にはどうなるか？同じTr(N)を持つ非正則ネットワークが存在しうるか？

主な発見

• MaximumProperChildアルゴリズムは、正則ネットワークNをその表示木の集合Tr(N)から正しく再構築する。
• 二つの正則ネットワークMとNが同じ表示木の集合Tr(M) = Tr(N)を持つならば、MとNは同型である（M = N）ことが示され、一意性が証明された。
• 非正則ネットワークに対してはこの手法は失敗する。図1では、二つの異なるネットワークMとNが同じTr(N) = {b, c}を持つことが示されている。
• 本手法は、各クラスタCに対して「適切な木」を特定することに依存しており、Cの親がNにおける有効なクラスタである場合にのみ考慮される。
• アルゴリズムは、非適切な木からの誤った子を避けるために、適切な木における出現を分析することで、各クラスタの最大子を正しく特定する。
• 最終的に再構築されたネットワークM_kは、元のネットワークNと同型であり、頂点と弧がNにおけるクラスタおよび親子関係と正確に一致する。