[論文レビュー] Regular pairings of functors and weak (co)monads

Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、弱（co）モノイドと関手の正則なペアリングを結びつける圏論的枠組みを確立し、自然変換が特定の合成恒等式を満たすことで定義されるようなペアリングが、自然に弱モノイドとコモノイドを誘導することを示している。主な貢献は、正則な関手を介した弱（co）モノイドと一般化された随伴の間の双対性であり、古典的なモノイド-コモノイド理論をユニットを要しない設定にまで拡張している。

ABSTRACT

For functors $L:\A o \B$ and $R:\B o \A$ between any categories $\A$ and $\B$, a {\em pairing} is defined by maps, natural in $A\in \A$ and $B\in \B$, $$\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@<0.5ex>[r]^α & \Mor_\A (A,R(B))\ar@<0.5ex>[l]^β}.$$ $(L,R)$ is an {\em adjoint pair} provided $α$ (or $β$) is a bijection. In this case the composition $RL$ defines a monad on the category $\A$, $LR$ defines a comonad on the category $\B$, and there is a well-known correspondence between monads (or comonads) and adjoint pairs of functors. For various applications it was observed that the conditions for a unit of a monad was too restrictive and weakening it still allowed for a useful generalised notion of a monad. This led to the introduction of {\em weak monads} and {\em weak comonads} and the definitions needed were made without referring to this kind of adjunction. The motivation for the present paper is to show that these notions can be naturally derived from pairings of functors $(L,R,α,β)$ with $α= α\dcirc β\dcirc α$ and $β= β\dcircα\dcircβ$. Following closely the constructions known for monads (and unital modules) and comonads (and counital comodules), we show that any weak (co)monad on $\A$ gives rise to a regular pairing between $\A$ and the category of {\em compatible (co)modules}.

研究の動機と目的

• ユニット条件を緩和した設定において、随伴関手とモノイドの古典的対応を一般化すること。
• 従来のモノイドが厳密なユニットを要するという制限が、弱ホップ代数やエンティング構造の応用においてあまりに制限的であるのを是正すること。
• ユニット制約を伴う随伴からではなく、正則な関手ペアリングから弱（co）モノイドを導出することで、弱（co）モノイドの圏論的基盤を提供すること。
• 特定の合成恒等式（α·β·α = α、β·α·β = β）を満たす関手ペアリングと弱（co）モノイドの間の双対性を確立すること。
• 弱（co）モノイドが圏 A に対して、そのモノイドに適合する（co）モジュールの圏と正則なペアリングを誘導することを示し、エイレンバーグ＝モアの構成を一般化すること。

提案手法

• 圏 A と B 間の正則な関手ペアリング (L, R, α, β) を定義する。ここで α: Mor_B(L(A), B) → Mor_A(A, R(B)) および β: Mor_A(A, R(B)) → Mor_B(L(A), B) は自然変換である。
• α·β·α = α および β·α·β = β という恒等式を課し、随伴関手の双対性を保つ非双対的だが正則な設定に一般化する。
• 分配則を用いて、このようなペアリングからモジュールまたはコモジュールの圏への自己関手の持ち上げを介して弱モノイドを構成する。
• 図式的推論を用いて、持ち上げられた関手が弱モノイドの公理（r-ユニタル性）および弱コモノイドの公理（r-コユニタル性）を満たすことを検証する。
• 圏 A における弱モノイドと、そのモノイドに適合するモジュールの圏との間の対応を確立する。
• 構成を双対化することで、弱コモノイドが、そのコモノイドに適合するコモジュールの圏との正則なペアリングから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニットが要求されない設定において、随伴関手とモノイドの古典的対応をどのように一般化できるか？
• RQ2 関手ペアリング (L, R, α, β) にどのような構造的条件を課すと、誘導される合成 RL が弱モノイドとなるか？
• RQ3 厳密なコユニットを要しない状況で、弱コモノイドを関手ペアリングから導出可能か？
• RQ4 分配則は、弱（co）モノイド設定における自己関手をモジュールおよびコモジュールの圏に持ち上げる際に果たす役割は何か？
• RQ5 弱（co）モノイド構造下で、適合モジュールおよびコモジュールの圏は、元の圏とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の圏 A における弱モノイドは、α·β·α = α および β·α·β = β を満たす正則な関手ペアリング (L, R, α, β) から生じる。
• 図式 (7.5) が可換であるとき、自己関手 F を F-モジュールの圏に持ち上げると、r-ユニタルモノイド (F̂, μ̂, η̂) が得られる。
• 図式 (7.3) が可換であるとき、持ち上げられたモノイド (F̂, μ̂, η̂) は弱モノイドとなり、緩和されたユニット条件を満たす。
• 対応する図式が可換である場合、持ち上げられたコモノイド (Ḡ, δ̄, ε̄) は F-モジュールの圏上で弱コモノイドとなる。
• 弱モノイドに適合するモジュールの圏は、元の圏と正則なペアリングをなす。これはエイレンバーグ＝モアの構成を一般化する。
• この理論により、弱ホップ代数と弱エンティング構造が、正則な関手ペアリングのより広い圏論的文脈に埋め込まれ、統一的な枠組みが提供される。