[論文レビュー] Regular polygraphs and the Simpson conjecture

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、多様体的構造とモデル圏を用いて、非単位的∞-圏の2つの概念——一般および正則——を導入することで、∞-群コホモロジーのCarlos Simpsonの半厳密化予想の正則版を証明する。正則多様体と空間の間のQuillen同値性を確立し、得られるモデル構造におけるファイブレーション対象が弱単位および弱逆元を持つことを示し、正の多面体と新しいδ数え上げ関数に基づく洗練された組合せ的枠組みを通じて、予想の正則ケースを確認する。

ABSTRACT

We prove Carlos Simpson's "semi-strictification" (or "weak unit") conjecture in the case of infinity-groupoids. More precisely, we introduce two precise versions of the conjecture, the "general" and the "regular" conjecture, involving two different notions of "non-unital categories". The "general" version involve infinity-categories where absolutely all composition operations (horizontal, vertical and whiskering) are defined and compatible, the "regular" version involve infinity-categories where all the composition operations corresponding to "regular" pasting diagram are defined and compatible. In both case we construct (weak) model structures on these categories such that fibrant objects have weak units and weak inverse. We prove the regular version of the conjecture using the original strategy of Kapranov and Voevodsky, together with our previous work on polygraphs. The general version cannot be proved by these methods and is still open. In order to do this we also study some subtle property of the combinatorics of polygraphs, and we construct a new counting function for polygraphs, inspired by previous work of Makkai.

研究の動機と目的

• 非単位的∞-圏の一般的および正則的定式化を区別することで、Carlos Simpsonの半厳密化予想を∞-群コホモロジーの文脈で解決すること。
• ファイブレーション対象が弱単位および弱逆元を持つような、非単位的∞-圏のカテゴリにおける弱モデル構造を構成すること。
• 一般化された貼付図式（正の多面体）の収縮性の失敗を、正則多様体に基づく洗練された組合せ的枠組みで克服すること。
• 正の多面体と新しいδ数え上げ関数を用いて、元のKapranov-Voevodsky戦略の明確かつ実装可能なバージョンを提供すること。

提案手法

• 多様体的およびplexベースの組合せ論を用いて、すべての合成作用素に基づく（一般）と「正則」貼付図式に制限された（正則）の2つの非単位的∞-圏の概念を導入する。
• Makkaiにインspされ、貼付図式の複雑さを分析し、モデル構造の構成を支援するための、多様体のための新しい数え上げ関数δを構築する。
• 正則多様体および∞-圏における弱モデル構造を構成し、ファイブレーション対象が弱単位および弱逆元の性質を満たすことを保証する。
• 正則多様体のカテゴリと位相的空間のカテゴリの間のQuillen同値性を確立し、この文脈におけるホモトピー仮説を証明する。
• ∞-圏的積をモデル化できるように、マーク付き／ストラティファイド正則多様体へのGrayテンソル積を拡張する。これにより、一般の∞-圏的予想への道筋が得られる可能性がある。
• マーク付き／ストラティファイドの∞-圏の枠組みを提案し、マークされた細胞が同値を表すように定義し、拡張されたGrayテンソル積と整合する生成アテイナ写像を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 より強固な貼付図式の概念を用いることで、元のKapranov-Voevodsky戦略が正則ホモトピー仮説の証明に復活可能か？
• RQ2 厳密な合成を保ちつつ弱単位および弱逆元を許容する非単位的∞-圏のための正しい組合せ的枠組みは何か？
• RQ3 正則多様体におけるモデル構造をどのように構成すれば、ファイブレーション対象が弱単位および弱逆元を持つようになり、Simpsonの予想を実現できるか？
• RQ4 一般化された貼付図式（正の多面体）における収縮性の失敗は、洗練されたδ数え上げ関数と適切なモデル構造によって克服可能か？
• RQ5 マーク付きまたはストラティファイドの多様体的構造を通じて、正則Simpson予想を一般の∞-圏的設定に拡張する道筋は存在するか？

主な発見

• 正則版Simpson予想が証明された：正則多様体のカテゴリと位相的空間のカテゴリの間には、Quillen同値性が存在する。
• 正則多様体のための新しいδ数え上げ関数が構築され、貼付図式の複雑さを捉え、モデル構造の構築を支援する。
• 正則多様体におけるモデル構造により、ファイブレーション対象が弱単位および弱逆元を持つことが保証され、予想の核心的要件を満たす。
• 一般版の予想は未解決のままである。正の多様体のための必要な幾何的実現関手が、収縮性を保存することをまだ示せていない。
• マーク付き／ストラティファイド正則多様体の枠組みが提案され、擬似-Grayテンソル積と生成アテイナ写像を介して、∞-圏的設定への結果の拡張が可能になる可能性がある。