[論文レビュー] Regular propagators of bilinear quantum systems

Thomas Chambrion, Nabile Boussaïd+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$x' = (A + u(t)B)x$ で記述される双線形量子制御系の解について、正則性およびエネルギー評価を確立する。ここで $A$ と $B$ は、収縮半群の反対対称生成作用素である。解の枠組みをRadon測度空間における制御へ拡張し、交換子条件を満たす場合に、Ball-Marsden-Slemrodの非可制御性結果を一般化する事前評価を導出し、到達可能集合の鋭い上界を提供するとともに、双線形シュレーディンガー方程式のような系における高次の正則性解析を可能にする。

ABSTRACT

The present analysis deals with the regularity of solutions of bilinear control systems of the type $x'=(A+u(t)B)x$where the state $x$ belongs to some complex infinite dimensional Hilbert space, the (possibly unbounded) linear operators $A$ and $B$ are skew-adjoint and the control $u$ is a real valued function. Such systems arise, for instance, in quantum control with the bilinear Schrödinger equation. For the sake of the regularity analysis, we consider a more general framework where $A$ and $B$ are generators of contraction semi-groups.Under some hypotheses on the commutator of the operators $A$ and $B$, it is possible to extend the definition of solution for controls in the set of Radon measures to obtain precise a priori energy estimates on the solutions, leading to a natural extension of the celebrated noncontrollability result of Ball, Marsden, and Slemrod in 1982. Complementary material to this analysis can be found in [hal-01537743v1]

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間における双線形制御系 $x' = (A + u(t)B)x$ の解の正則性を解析すること。
• 区分的定数制御から始めて、Radon測度空間における制御へ解の概念を拡張し、伝搬作用素の適切な定義と連続性を保証すること。
• 到達可能集合を制限する事前エネルギー評価を導出し、可制御性の障害を特定すること。
• 1982年のBall-Marsden-Slemrodの非可制御性結果を、非有界生成作用素およびインパルス的制御を含む系へ一般化すること。
• スペクトル理論および補間技法を用いて、高次のソボレフ型空間における近似可制御性の十分条件を提供すること。

提案手法

• ヒルベルト空間枠組みにおいて、$A$ と $B$ を収縮半群の反対称生成作用素として定式化する。
• Radon測度空間における制御に対して、Dyson級数展開を用いて一般化された伝搬作用素を導入する。
• $A$ と $B$ 間の交換子条件を適用し、弱解における高次のノルム評価を導出する。
• 補間理論および作用素の分数冪を用いて、$D(|A|^{s})$ 空間における正則性を推定する。
• 正則摂動論（Katoの枠組み）を用いて、スペクトル安定性を解析し、制御設計における共鳴を回避する。
• BVおよびRadon空間における制御に対して、伝搬作用素写像 $u \mapsto \Upsilon^u_T \psi_0$ の連続性を確立し、到達可能集合におけるコンパクトネスの議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、双線形量子系の解をRadon測度空間における制御へ拡張できるか。
• RQ2 $A$ と $B$ 間の交換子条件が、解の正則性およびエネルギー評価にどのように影響するか。
• RQ3 古典的なBall-Marsden-Slemrodの非可制御性結果を、非有界生成作用素およびインパルス的制御を含む系へ拡張できるか。
• RQ4 制御が有界 Variation または測度値である場合、到達可能集合の最適正則性は何か。
• RQ5 スペクトル理論および補間技法を用いて、高次のソボレフ空間における近似可制御性をどのように確立できるか。

主な発見

• 交換子条件および $A$ と $B$ の正則性仮定の下で、解写像 $u \mapsto \Upsilon^u_T \psi_0$ はRadon測度空間における制御へ連続的拡張が可能である。
• 緩い結合条件の下で、解に対する事前エネルギー評価が得られ、到達可能集合に対する一様な境界が得られる。
• 制御がBV空間の逐次コンパクト集合に属するとき、任意の初期状態 $\psi_0$ からの到達可能集合は、$\mathcal{H}$ において前コンパクトである。これは連続性およびコンパクトネスの議論による。
• エネルギー評価を用いて、古典的なBall-Marsden-Slemrodの非可制御性結果が、非有界反対称生成作用素およびインパルス的制御を含む系へ拡張された。
• $(k$-弱く結合された系では、任意の $\eta > 0$ に対して、非共鳴および有限多重度条件の下で、$D(|A|^{k/2 + 1 - \eta})$ で近似可制御性が成立する。
• 正則摂動論を用いて、$A + zB$ の固有値および固有ベクトルが実軸近傍で正則であることが示され、制御摂動に対するロバストネス解析が可能になる。