[論文レビュー] Regularity and Green's relations for the semigroup of partial contractions of a finite chain

Bulama Ali, Abdullahi Umar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

semigroups and automata theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限鎖上の部分的縮小写像の半群 $\mathcal{CP}_n$ における正則性の必要十分条件を確立し、この半群上での5つのグリーン関係（$\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$）を完全に特徴付けている。主な貢献は、核分割と像集合を用いたグリーン関係の完全な代数的記述であり、翻訳、反転、精錬分割の許容的横断集合を含む明示的条件を含む。

ABSTRACT

Let $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ be a finite chain and let $\mathcal{P}_{n}$ be the semigroup of partial transformations on $[n]$. Let $\mathcal{CP}_{n}=\{α\in \mathcal{P}_{n}: (for~all ~x,y\in Dom~α)~|xα-yα|\leq|x-y|\}$, then $\mathcal{CP}_{n}$ is a subsemigroup of $\mathcal{P}_{n}$. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for an element in $\mathcal{P}_{n}$ to be regular and characterize all the Green's equivalences on the semigroup $\mathcal{CP}_{n}$.

研究の動機と目的

• 要素 $\alpha \in \mathcal{CP}_n$ が正則であるための必要十分条件を特定すること。
• 半群 $\mathcal{CP}_n$ 上での5つのグリーン関係（$\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$）を完全に特徴づけること。
• $\mathcal{CP}_n$ の部分半群、特に $\mathcal{OCP}_n$ におけるグリーン関係に関する既存の結果を一般化・統一し、それらを特殊ケースとして導出すること。
• 部分的縮小写像の半群における正則性およびグリーン関係を研究するための基盤的枠組みを提供すること。

提案手法

• $\mathcal{CP}_n$ を、$[n] = \{1,2,\ldots,n\}$ 上の部分変換の部分半群として定義し、すべての $x,y \in \text{Dom}(\alpha)$ に対して $|x\alpha - y\alpha| \leq |x - y|$ を満たすものとする。
• 核分割 $\textbf{Ker}(\alpha)$ を用いて、同じ像に写される要素からなる同値類に定義域を分解する。
• 各核類から1つの代表元を選び、相対的に凸で、順序または反転構造を保つ「許容的横断集合」を導入する。
• 核構造の精錬分割と像集合の間の同型写像を用いてグリーン関係を確立し、横断集合間の翻訳または反転を用いる。
• $\alpha \,\mathcal{L}\, \beta$ が成り立つのは、$\text{Im}(\alpha) = \text{Im}(\beta)$ かつ $\alpha^{\underline{\text{Ker}}} \beta$（精錬分割間の縮小写像）であるとき、かつそのときに限る、と証明する。
• $\alpha \,\mathcal{R}\, \beta$ が成り立つのは、$\text{Ker}(\alpha) = \text{Ker}(\beta)$ かつ像の要素 $x_i$ と $y_i$、または $y_{p-i+1}$ の間で一様な翻訳または反転が存在するとき、かつそのときに限る、と証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 要素 $\alpha \in \mathcal{CP}_n$ が正則であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $\mathcal{CP}_n$ 上でのグリーン関係 $\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$ はどのように構造づけられるか？
• RQ3 $\mathcal{OCP}_n$（順序を保つ部分的縮小写像）におけるグリーン関係は、$\mathcal{CP}_n$ におけるそれらとどのように関係するか？
• RQ4 $\mathcal{OCP}_n$ における結果は、$\mathcal{CP}_n$ の一般化された特徴づけから特殊ケースとして導出可能か？
• RQ5 許容的横断集合と精錬分割は、$\mathcal{CP}_n$ におけるグリーン関係の決定において果たす役割は何か？

主な発見

• $\alpha \in \mathcal{CP}_n$ が正則であるのは、その像集合 $\text{Im}(\alpha)$ が核分割 $\textbf{Ker}(\alpha)$ の横断集合であり、かつ相対的に凸であるとき、かつそのときに限る。
• $\alpha \,\mathcal{L}\, \beta$ が成り立つのは、$\text{Im}(\alpha) = \text{Im}(\beta)$ かつ、$\textbf{Ker}(\alpha)$ と $\textbf{Ker}(\beta)$ の精錬分割の間で縮小写像が存在し、対応する像要素が翻訳または反転によって関連付けられているとき、かつそのときに限る。
• $\alpha \,\mathcal{R}\, \beta$ が成り立つのは、$\text{Ker}(\alpha) = \text{Ker}(\beta)$ かつ、すべてのブロックにわたる一様な翻訳または反転によって像要素が関連付けられているとき、かつそのときに限る。
• $\mathcal{D}$-関係は、精錬核分割間の縮小写像の存在と、像集合間の翻訳または反転の存在によって特徴づけられる。
• $\mathcal{OCP}_n$ における結果（ZhaoとYang [18] によるもの）は、順序を保つ要素に制限した場合に、$\mathcal{CP}_n$ の一般的特徴づけの特殊ケースとして完全に回復される。
• $\mathcal{OCP}_n$ における $\mathcal{D}$-類の特徴づけは、$\alpha \,\mathcal{D}\, \beta$ が成り立つのは、ある整数 $e$ に対して $x_i = y_i + e$ となるとき、かつそのときに限ることを示しており、これは像要素における一様なシフトに相当する。