[論文レビュー] Regularity of 3D axisymmetric Navier-Stokes equations

Hui Chen, Daoyuan Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非ゼロのスワイルを持つ3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式に対して、スケーリングされた渦度成分 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$ のための鍵となる不等式を導入することにより、Prodi-Serrin型の正則性基準を新たに確立する。初期角速度 $u^\theta_0$ が臨界的 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 空間で十分に小さい場合、解のグローバルな適切性（global well-posedness）が示され、最適なスケーリング不変条件のもとで非スワイルの場合への正則性結果が拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we study the three-dimensional axisymmetric Navier-Stokes system with nonzero swirl. By establishing a new key inequality for the pair $(\frac{ω^{r}}{r},\frac{ω^θ}{r})$, we get several Prodi-Serrin type regularity criteria based on the angular velocity, $u^θ$. Moreover, we obtain the global well-posedness result if the initial angular velocity $u_{0}^θ$ is appropriate small in the critical space $L^{3}(\R^{3})$. Furthermore, we also get several Prodi-Serrin type regularity criteria based on one component of the solutions, say $ω^3$ or $u^3$.

研究の動機と目的

• 非ゼロのスワイルを伴う3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式に対する鋭い正則性基準を確立すること、特に角速度 $u^\theta$ に焦点を当てる。
• スケーリング不変空間における臨界的小さな条件のもとでのグローバル正則性という未解決問題に取り組む。
• 軸対称流れに対してProdi-Serrin枠組みを拡張するため、スケーリング済み渦度ペア $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$ を分析すること。
• 初期角速度が臨界的 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 空間で小さい場合に、グローバル存在と一意性を証明すること。

提案手法

• 軸対称ナビエ＝ストークス系における非線形項を制御するため、ペア $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$ に対する新しい鍵となる不等式を導出する。
• コンvection、拡散、および低次の項を含む連立放物型方程式を満たす変数 $\Theta = r u^\theta$ と $\Gamma = \omega^\theta / r$ を導入する。
• 部分積分、ホルダーの不等式、およびソボレフ埋め込みを用いて、$\omega^\theta$ および $\Gamma$ の $L^2$ ノルムを初期データおよび $\nabla \mathbf{u}$ のノルムで上から抑える。
• グローバル不等式を適用して、$d \in (0,1)$ に対して $\|r^d u^\theta\|_{L^{3/(1-d)}}$ の増大を制御し、初期データが小さい場合に有界性を保証する。
• 連続性法とエネルギー推定を用いて、$r^d u^\theta$ の $L^{3/(1-d)}$ ノルムが有界のまま保たれる限り、解が任意の有限時刻 $T^*$ 以降にまで延長可能であることを示す。
• 軸対称系の構造を活用し、全速度場の制御を避けて、角成分のみの推定に問題を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロのスワイルを伴う3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式において、Prodi-Serrin型の正則性基準を角速度 $u^\theta$ のみを用いて確立できるか。
• RQ2 3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式のグローバル適切性を保証する、$u^\theta_0$ の最適な臨界的小さな条件は何か。
• RQ3 渦度成分 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$ のスケーリングが、スワイルの存在下でどのように正則性推定を向上させるか。
• RQ4 スケーリング不変ノルムとエネルギー推定を用いて、グローバル正則性結果を完全な非スワイルの場合にまで拡張できるか。
• RQ5 $u^\theta_0$ の $L^3(\mathbb{R}^3)$ ノルムが、軸対称解のグローバル挙動を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 本稿は、角速度 $u^\theta$ のみに依存する新しいProdi-Serrin型正則性基準を確立し、$u^\theta \in L^p_t L^q_x$ かつ $\frac{2}{p} + \frac{3}{q} \leq 1$、$3 \leq q \leq \infty$ の条件下で解が正則であることを示している。
• 初期角速度 $u^\theta_0$ が臨界的 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 空間で十分に小さい場合、グローバル適切性が証明され、条件 $\|r^d u^\theta_0\|_{L^{3/(1-d)}} \leq \frac{1}{2C_0}$ を満たす $d \in (0,1)$ が存在する。
• 非線形項の制御と正則性解析を可能にする中心的な役割を果たす、ペア $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$ に対する新しい不等式が導出された。
• $\omega^\theta$ の $L^\infty_t L^2_x$ ノルムは、初期データおよび速度の $L^2$ ノルムを介して上界を持つ。具体的には、$\|\omega^\theta\|_{L^\infty_t L^2_x}^2 \leq \|\omega^\theta_0\|_2^2 + C_1(\|\Gamma_0\|_2 + \|\Phi_0\|_2)^{4/3} \|\mathbf{u}_0\|_2^2$ が成り立ち、ここで $\Gamma_0 = \omega^\theta_0 / r$ である。
• 初期データの小さな条件下で、$r^d u^\theta$ の $L^{3/(1-d)}$ ノルムがすべての時間で有界のまま保たれ、任意の有限時刻 $T^*$ 以降への解の延長が可能になる。
• 初期データが $\|r^d u^\theta_0\|_{L^{3/(1-d)}} \leq \frac{1}{2C_0}$ を満たす場合、解はグローバルに正則的かつ一意的であることが示され、その境界は初期エネルギーおよび渦度ノルムにのみ依存する。