[論文レビュー] Regularity of Local times associated to Volterra-Lévy processes and path-wise regularization of stochastic differential equations

Fabian A. Harang, Chengcheng Ling|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ボルテラ・レヴィ過程の局所時における確率的空間的正則性を確立し、それがボルテラカーネルの特異性と逆比例することを示している。この結果を応用して、非線形ヤング積分と確率的シーディング補題を用いたノイズによる正則化により、漂い項がベゾフ分布である場合でさえも、確率的経路に沿った解の存在、一意性、滑らかさを証明している。

ABSTRACT

We investigate the space-time regularity of the local time associated to Volterra-Lévy processes, including Volterra processes driven by $α$-stable processes for $α\in(0,2]$. We show that the spatial regularity of the local time for Volterra-Lévy process is $P$-a.s. inverse proportionally to the singularity of the associated Volterra kernel. We apply our results to the investigation of path-wise regularizing effects obtained by perturba\Ption of ODEs by a Volterra-Lévy process which has sufficiently regular local time. Following along the lines of [15], we show existence, uniqueness and differentiablility of the flow associated to such equations.

研究の動機と目的

• ボルテラ・レヴィ過程に付随する空間時間的正則性、特にα ∈ (0,2] におけるα安定レヴィ過程によって駆動されるものも含めて、局所時の正則性を調査すること。
• 局所時の空間的正則性が、確率的にボルテラカーネルの特異性と逆比例することを確立すること。
• 正則性結果を応用して、不規則な漂い項を伴うボルテラ・レヴィ過程による摂動を受けたODEの経路的解の存在、一意性、微分可能性を証明すること。
• 確率的シーディング補題と非線形ヤング積分を用いて、ガウス過程に限らない非ガウス的・非マルコフ的ボルテラ・レヴィ過程に対しても、ノイズによる正則化現象を拡張すること。

提案手法

• ボルテラ・レヴィ過程に特化した局所的非決定性条件を定式化し、その局所時正則性を制御すること。
• 確率的シーディング補題を適用して、カーネルの特異性とレヴィ過程の性質を活用し、局所時のソボレフ正則性を証明すること。
• 埋め込み定理を用いて、局所時が広範なベゾフ空間に属することを導出すること。
• ボルテラ・レヴィ過程 z_t の局所時がある程度正則であれば、dx_t = b(x_t)dt + dz_t の形のODEに対して、解の経路的存在と一意性が保証されることを示すこと。
• b がベゾフ分布で z が正則な局所時を持つ場合に、∫b(x_s)dz_s の積分を非線形ヤング積分理論を用いて取り扱うこと。
• ホーラー型空間における収縮写像に基づく不動点議論を用いて、初期値 ξ に対する流れ写像 ξ ↦ x_t(ξ) の存在と滑らかさを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルテラカーネルの特異性は、ボルテラ・レヴィ過程の局所時における空間的正則性にどのように影響するか？
• RQ2 ノイズによる正則化現象は、ガウス過程に限らず、非ガウス的・非マルコフ的ボルテラ・レヴィ過程に対しても拡張可能か？
• RQ3 ボルテラ・レヴィ過程の局所時が存在し、ODEの経路的正則化に十分な正則性を持つための条件は何か？
• RQ4 ODEにおける漂い項 b がどれほど不規則（例えばベゾフ空間内の分布）であっても、ボルテラ・レヴィ過程による摂動を受けた場合に、一意的かつ微分可能な解が得られる範囲はどの程度か？
• RQ5 確率的シーディング補題は、非ガウス的ボルテラ過程の局所時正則性を証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ボルテラ・レヴィ過程に付随する局所時が、確率的に空間的正則性を持つことが示され、その正則性はボルテラカーネルの特異性と逆比例する。
• 局所時がソボレフ空間に属し、埋め込みにより広範なベゾフ空間に属することから、積分の目的に十分な滑らかさが保証される。
• ボルテラ・レヴィ過程 z の局所時がある程度正則であれば、dx_t = b(x_t)dt + dz_t のODEは、b がベゾフ分布であっても、確率的経路に沿った一意的解を持つ。
• 局所時 z が十分に正則であれば、流れ写像 ξ ↦ x_t(ξ) は初期条件 ξ に関して無限回微分可能である。
• 非ガウス的ボルテラ過程の局所時正則性を証明するために、確率的シーディング補題が成功裏に適用され、従来のガウスの場合の結果が拡張された。
• ホーラー型空間における収縮写像の議論により、摂動ODEの解の存在と一意性が確認され、被積分関数の導関数が有界であるため、収縮定数は初期データに依存しない。