[論文レビュー] Regularity of rational vertex operator algebras

Chongying Dong, Haisheng Li+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理的頂点演算子代数が正則であるための十分条件を確立し、すべての弱モジュールが不可約普通モジュールの直和に分解されることを意味する。主な例として、モジュールの月光凝集 $V^\natural$、アフィン $\\-widehat{\mathfrak{g}}$-代数 $L(l,0)$、バーバロス離散系列 $L(c_{p,q},0)$、および格子頂点代数 $V_L$ について正則性を証明し、正定値でない格子に対しても完全可約性を拡張する。

ABSTRACT

A regular vertex operator algebra is a vertex operator algebra such that any weak module (without grading) is a direct sum of ordinary irreducible modules. In this paper we give several sufficient conditions under which a rational vertex operator algebra is regular. We prove that the moonshine module vertex operator algebra $V^{ atural},$ the vertex operator algebras $L(l,0)$ associated with the integrable representations of affine algebras of level $l,$ the vertex operator algebras $L(c_{p,q},0)$ associated with irreducible highest weight representations for the discrete series of the Virasoro algebra and the vertex operator algebras $V_L$ associated with positive definite even lattices $L$ are regular. Our result for $L(l,0)$ implies that any restricted integrable module of level $l$ for the corresponding affine Lie algebra is a direct sum of irreducible highest weight integrable modules. The space $V_L$ in general is a vertex algebra if $L$ is not positive definite. In this case we establish the complete reducibility of any weak module.

研究の動機と目的

• 有理的頂点演算子代数が正則であるための十分条件を確立すること。
• 有理的 VOAs における弱モジュールが不可約普通モジュールの直和に分解されることを証明すること。
• 非正定値偶格子に関連する頂点代数に対し、完全可約性の性質を拡張すること。
• レベル $l$ のアフィンリー代数に対する制限可能で可積分なモジュールが、不可約最高重量モジュールの直和に分解されることを示すこと。

提案手法

• 頂点演算子代数の表現論および弱モジュールの性質を利用する。
• アフィンリー代数の可積分モジュール理論を用いて $L(l,0)$ VOAs を分析する。
• バーバロス代数の表現構造を用いて $L(c_{p,q},0)$ VOAs を研究する。
• 偶格子 $L$ に対する格子頂点代数 $V_L$ を分析し、正定値でない場合を含む。
• 正則性の定義を用いる：すべての弱モジュールが不可約普通モジュールの直和に分解されること。
• 量子代数および頂点代数理論の結果を応用し、多様な VOAs における正則性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的頂点演算子代数が正則である条件は何か？
• RQ2 アフィンリー代数に関連する $L(l,0)$ 頂点演算子代数における弱モジュールの完全可約性は確立可能か？
• RQ3 月光凝集 $V^\natural$ は正則であり、弱モジュールの直和分解を満たすか？
• RQ4 格子 $L$ が正定値でない場合、頂点代数 $V_L$ に対しても正則性の性質は拡張可能か？
• RQ5 レベル $l$ のアフィンリー代数に対する制限可能で可積分なモジュールは、不可約最高重量モジュールの直和に完全可約か？

主な発見

• 月光凝集頂点代数 $V^\natural$ は正則であり、すべての弱モジュールが不可約普通モジュールの直和に分解されることを意味する。
• レベル $l$ の可積分表現を持つアフィンリー代数に関連する頂点演算子代数 $L(l,0)$ は正則である。
• バーバロス代数の離散系列に対応するバーバロス頂点代数 $L(c_{p,q},0)$ は正則である。
• 格子 $L$ が正定値でない場合であっても、格子頂点代数 $V_L$ は正則であり、すべての弱モジュールの完全可約性が保証される。
• $L(l,0)$ の正則性により、対応するアフィンリー代数の任意の制限可能で可積分なモジュールが、不可約最高重量可積分モジュールの直和に分解されることを示す。