[論文レビュー] Regularity of the time constant for a supercritical Bernoulli percolation

Barbara Dembin|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ℤᵈ 上の上位臨界ベルヌーイ確率遷移における時間定数 μₚ の Hölder 型正則性を確立し、p ↦ μₚ が対数型の連続性モジュラスを有することを示している。具体的には、p, q が 1 に近いとき、|μₚ(x) − μ_q(x)| ≤ C‖x‖₁(q−p)|log(q−p)| が成り立つ。この結果は、再正規化技術と p-閉じた辺の周囲の迂回路の制御を用いて得られ、上位臨界領域における連続性結果を、鋭い正則性推定値へと拡張するものである。

ABSTRACT

We consider an i.i.d. supercritical bond percolation on Z^d , every edge is open with a probability p > p\\_c (d), where p\\_c (d) denotes the critical parameter for this percolation. We know that there exists almost surely a unique infinite open cluster C\\_p [11]. We are interested in the regularity properties of the chemical distance for supercritical Bernoulli percolation. The chemical distance between two points x, y $\\in$ C\\_p corresponds to the length of the shortest path in C\\_p joining the two points. The chemical distance between 0 and nx grows asymptotically like n$\\mu$\\_p (x). We aim to study the regularity properties of the map p $\ ightarrow$ $\\mu$\\_p in the supercritical regime. This may be seen as a special case of first passage percolation where the distribution of the passage time is G\\_p = p$\\delta$\\_1 + (1 -- p)$\\delta$\\_$\\infty$ , p > p c (d). It is already known that the map p $\ ightarrow$ $\\mu$\\_p is continuous (see [10]).

研究の動機と目的

• ℤᵈ 上の上位臨界ベルヌーイ確率遷移における化学的距離時間定数 μₚ の正則性特性を研究すること。
• p ↦ μₚ の既知の連続性を、上位臨界領域における定量的連続性モジュラスへと拡張すること。
• p > p_c(d) のとき、特に p = 1 に近い領域で、時間定数 μₚ がどのように p に依存するかを分析すること。
• 再正規化と迂回路構成を用いて、p-閉じた辺（無限大の通過時間）が測地線に与える影響を制御すること。

提案手法

• ℤᵈ をボックスに分解する再正規化スキームを用い、p-閉じた辺が最短路に与える影響を制御する。
• 通過時間が無限大の辺を扱うために切断と迂回技術を適用し、クラスタの周囲に有限長のパスに置き換える。
• クラスターサイズと境界長に対する組合せ的推定を用いて、p-閉じたクラスタの周囲の迂回路長を評価する。
• 等周定数と体積増加率を用いて、測地線が通るボックス数に対する再帰的制御を確立する。
• ℤᵈ 上の ℓ¹ ノルムを用いた通過時間の比較により、|μₚ(x) − μ_q(x)| の上限を導出する。
• 単位球の Hausdorff 距離を制御するため、μₚ が球上で一様連続であることと、下界 μₚ^min > 0 であることを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上位臨界領域において、時間定数 μₚ はどのように確率遷移パラメータ p に依存するか？
• RQ2 p ↦ μₚ の連続性を、定量的連続性モジュラスへと強化できるか？
• RQ3 p-閉じた辺は測地線にどのように歪曲を引き起こし、その影響を定量的に評価できるか？
• RQ4 なぜ正則性推定値に対数項 |log(q−p)| が現れるのか？また、Lipschitz 連続性は達成可能か？

主な発見

• p, q ∈ [p₀, 1] かつ p₀ > p_c(d) のとき、|μₚ(x) − μ_q(x)| ≤ C‖x‖₁(q−p)|log(q−p)| を満たす Hölder 連続性（指数 1/2）が成り立つ。
• 正則性推定値は鋭く、p-閉じた辺と迂回路長の相関性のため、現在の手法では Lipschitz 連続性は達成できない。
• ノルム μₚ と μ_q の単位球の Hausdorff 距離は、p, q ∈ [p₀, 1] に対して d_H(ℬ_μₚ, ℬ_μ_q) ≤ C(q−p)|log(q−p)| を満たす。
• 時間定数 μₚ は p に関して非増加であり、すべての x ∈ ℤᵈ と p > p_c(d) に対して μₚ(x) ≤ ‖x‖₁ μₚ(e₁) が成り立つ。
• 証明は再正規化スキームと p-閉じた辺クラスタの周囲の迂回路の制御に依存しており、等周定数と体積増加率に依存する評価が含まれる。
• 対数項は再正規化そのものではなく、ボックスサイズのスケーリングと測地線が通るボックス数に起因する。