[論文レビュー] Regularizing effect of absorption terms in singular and degenerate elliptic problems

Abdelaaziz Sbai, Youssef El Hadfi|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形吸収項 $|u|^{s-1}u$ と特異項 $f/u^{\tau}$（$\tau < 1$）を有する特異的・退化する楕円型偏微分方程式の解の存在性と正則性を検討する。truncate 技法と近似法を用いることで、吸収項が正則化効果を及ぼし、$s$, $p$, $\theta$, $\gamma$ に関する特定の条件下で勾配 $\nabla u$ の可積分性とsummability（summability）を向上させることを確立する。その結果、Sobolev空間におけるエンタルピー解または分布解が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and regularity of solutions to the following singular problem \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} &amp;-\displaystyle\mbox{div} \big(a(x,u)| abla u|^{p-2}| abla u|\big) + |u|^{s-1}u =\frac{f}{u^γ} &amp;\mbox{ in } Ω\\ &amp;u&gt;0 &amp;\mbox{ in }Ω\\ &amp;u=0 &amp;\mbox{ on } δΩ\end{array} ight. \end{equation} proving that the lower order term $u|u|^{s-1}$ has some regularizing effects on the solutions in the case of an elliptic operator with degenerate coercivity.

研究の動機と目的

• 特異的・退化する楕円型偏微分方程式に非線形吸収項と特異的源項を有する解の存在性と正則性を分析すること。
• 微分作用素が退化した coercivity を持つ場合に、下位項 $|u|^{s-1}u$ が解をどのように正則化するかを調査すること。
• $s$, $p$, $\theta$, $\gamma$ のパラメータに関する十分条件を確立し、$W_0^{1,p}(\Omega)$ 内でエンタルピー解または分布解の存在を示すこと。
• 作用素の coercivity の欠如と源項の特異性に対処するため、近似法とtruncate 法を用いること。

提案手法

• 特異項 $f/u^\gamma$ を、$u_n$ が有界となるような非特異項 $f_n/u_n^\gamma$ の列で近似する。
• 解の成長を制御し、コンパクト性を保証するために、truncate 演算子 $T_k(u_n)$ を用いる。
• Schauder の固定点定理を適用し、各近似レベル $n$ に対して $W_0^{1,p}(\Omega)$ 内の有界解 $u_n$ の存在を証明する。
• Hölder の不等式およびSobolev埋め込み不等式を用いて、$\nabla u_n$ および $u_n$ に対する事前推定を行う。
• Vitali の定理およびFatou の定理を用いて近似列の極限を取ることで、弱形式を満たす極限関数 $u$ を得る。
• エンタルピー解の枠組みで収束を検証し、特異的・退化的項を制御することで、$u$ がエンタルピー解であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸収項 $|u|^{s-1}u$ の存在が、特異的源項を有する退化楕円型偏微分方程式の解の正則性にどのように影響するか？
• RQ2 $s$, $p$, $\theta$, $\gamma$ に関してどのような条件下で、吸収項が $\nabla u$ の改善されたsummability（summability）を誘発するか？
• RQ3 作用素 $\text{div}(a(x,u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ の coercivity の欠如は、truncate 法と近似法によって克服可能か？
• RQ4 解 $u$ が $M^{\frac{ps}{1+\theta+s-\gamma}}(\Omega)$ に属するための最適な $s$ の範囲は何か？（可積分性の向上を示す。）
• RQ5 与えられた $f$, $a(x,u)$, 特異的源項の仮定のもとで、解 $u$ はエンタルピー解の定義を満たすか？

主な発見

• 吸収項 $|u|^{s-1}u$ は正則化効果を及ぼし、これがない場合に比べて $\nabla u$ のsummability（summability）を向上させる。
• $0 < s \leq \frac{1+\theta-\gamma}{p-1}$ のとき、勾配 $\nabla u$ は Lorentz-Marcinkiewicz 空間 $M^{\frac{ps}{1+\theta+s-\gamma}}(\Omega)$ に属し、可積分性の向上を示す。
• $s \leq \frac{N(1-\gamma)+\gamma}{N-1}$ のとき、解 $u$ は分布解である。$\nabla u_n$ は $r < \frac{N(p-1-\theta+\gamma)}{N-1-\theta+\gamma}$ に対して $L^r(\Omega)$ 内で有界である。
• $s \geq \frac{N(p-\theta-1)+p\gamma}{N-p}$ のとき、解 $u$ はエンタルピー解である。正則化効果が特異的・退化的構造を上回る。
• 近似解列 $u_n$ は a.e. で $u$ に収束し、すべての $k>0$ に対して $T_k(u_n) \rightharpoonup T_k(u)$ が $W_0^{1,p}(\Omega)$ 内で弱収束する。これにより解の安定性が保証される。