[論文レビュー] Reidemeister torsion, hyperbolic three-manifolds, and character varieties

Joan Porti|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 89被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有限体積の双曲的3次元多様体におけるReidemeister torsionを調査し、torsionを位相的不変量として、またSL₂(ℂ)-特徴写像多様体上の関数として扱う。torsionが特徴写像多様体の特徴的成分上で有理関数であることが示され、特に絡み目の外部（第一ベッチ数が1）では正則である。さらに、Weilのコhomological同定により接空間を第一コhomology群に一致させることで、高次元表現および随伴表現への理論の拡張がなされる。

ABSTRACT

This is a survey on Reidemeister torsion for hyperbolic three-manifolds of finite volume. Torsions are viewed as topological invariants and also as functions on the variety of representations in $\operatorname{ SL}_2(\mathbb C)$. In both cases, the torsions may also be computed after composing with finite dimensional representations of $\operatorname{ SL}_2(\mathbb C)$. In addition the paper deals with the torsion of the adjoint representation as a function on the variety of $\operatorname{ PSL}_{n+1}(\mathbb C)$-characters, using that the first cohomology group with coefficients twisted by the adjoint is the tangent space to the variety of characters.

研究の動機と目的

• 有限体積をもつ双曲的3次元多様体に対するReidemeister torsionを位相的不変量として研究すること。
• 特に、ホロノミー表現を含む特徴的成分上のSL₂(ℂ)-特徴写像多様体上のtorsionを関数として分析すること。
• SL₂(ℂ)の高次元表現および随伴表現へのtorsion不変量の拡張をすること。
• Weilの定理により特徴写像多様体の接空間を第一コhomology群に同定することで、変形理論とtorsionを関連させること。
• Dehn充填におけるtorsionの振る舞いを調査し、体積およびコhomological構造に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 有限次元表現によるSL₂(ℂ)のtwistingを伴う、組合せ的torsionを用いる。
• Mayer-Vietoris列とPoincaré双対性を適用し、Dehn充填および位相的分解におけるtorsion不変量を分析する。
• Raghunathanの定理により、アセイクであることが保証されるSL₂(ℂ)に引き上げられたホロノミー表現を用い、スピン構造を備えた位相的不変量を定義する。
• Weilの定理を用い、特徴写像多様体の接空間を随伴表現を係数とする第一コhomology群に同定する。
• コhomology次元の上半連続性を応用し、境界トーラス上でのH⁰コhomologyの消滅に関する一般性の結果を証明する。
• オビホルドDehn充填を用いた具体例を構成し、一般性の表現を実現し、コhomological条​​件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reidemeister torsionは、双曲的3次元多様体のSL₂(ℂ)-特徴写像多様体上でどのように関数として振る舞うか？
• RQ2 特徴写像多様体の特徴的成分上でtorsion関数が正則（特異点なし）であるための条件は何か？
• RQ3 高次元表現のtorsionと多様体の体積の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 Dehn充填におけるtorsionの変化はどのようなものか？また、体積が有界で torsion が無限大に発散する多様体の列に対して、これにはどのような意味があるか？
• RQ5 随伴表現のtorsionは、特徴写像多様体のコhomologyを介して幾何学的にどのように解釈できるか？

主な発見

• 絡み目の外部（第一ベッチ数が1）では、SL₂(ℂ)-特徴写像多様体の特徴的成分上でtorsion関数は正則であり、特異点をもたない。
• Dehn充填により、体積が有界で torsion が無限大に発散する閉じた双曲的3次元多様体の列を構成でき、これはCorollary 3.28で示されている。
• 随伴表現のtorsionは体積予想に関係し、量子不変量に現れることが、論文の短い言及で指摘されている。
• 特徴的成分内の一般な特徴に対して、k₁ ≠ k₂ かつ k₁, k₂ の少なくとも一方が奇数のとき、H⁰(T²; ρ^{k₁,k₂}) は消える。
• k₁ と k₂ がともに偶数で k₁ ≠ k₂ であるとき、H⁰(T²; ρ^{k₁,k₂}) = 1 を満たす特徴の集合は、特徴曲線上の空でないZariski開部分集合をなす。
• 変形空間における周辺曲線の変化は、torsionから導かれる式によって支配され、特定の条件下で体積形式の定義が可能になる。