[論文レビュー] Relating the quantum mechanics of discrete systems to standard canonical quantum mechanics

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、整数格子上の離散的量子力学（P_i, Q_i）と連続的実数空間上の標準的正準量子力学（q_i, p_i）との間で一様な写像を確立し、整数上での調和振動子がこの形式主義のもとで決定論的になると示している。主な貢献は、交換関係を保存する正準同型であり、単位円上のフーリエ型変換を介して離散的・決定論的なモデルから連続的量子力学を再構成可能にするものである。

ABSTRACT

Discrete quantum mechanics is here defined to be a quantum theory of wave functions defined on integers P_i and Q_i, while canonical quantum mechanics is assumed to be based on wave functions on the real numbers, R^n. We study reversible mappings from the position operators q_i and their quantum canonical operators p_i of a canonical theory, onto the discrete, commuting operators Q_i and P_i. In this paper we are particularly interested in harmonic oscillators. In the discrete system, these turn into deterministic models, which is our motivation for this study. We regard the procedure worked out here as a "canonical formalism" for discrete dynamics, and as a stepping stone to handling discrete deterministic systems in a quantum formalism.

研究の動機と目的

• 整数変数上の離散的量子力学と実数変数上の標準的正準量子力学との間の厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 離散的格子上の決定論的モデルが、完全な量子力学的形式論にどのように埋め込まれるかを調査すること。
• 調和振動子系における離散的演算子（P, Q）と連続的観測量（q, p）との間の明示的表現を導出すること。
• 写像下でも標準的交換関係 [q, p] = i が保存されることを保証し、端状態の補正を加えること。
• 連続的量子力学が、背後に存在する離散的・決定論的力学から生じるという基礎を提供すること。

提案手法

• 複素指数関数 ϵ^{iηQ} = e^{2πiηQ} を用いて、整数上（Z^{2n}）の波動関数を単位円上（η ∈ (−1/2, 1/2]）の関数へ写像するユニタリ変換を定義する。
• 離散的波動関数のフーリエ変換を用いて、連続的座標および運動量演算子 q と p を離散的変数 P と Q の関数として表現する。
• 運動量演算子 p を p = P + a_P の形に構成し、位相関数 ϕ(η_P, η_Q) から導かれるベクトルポテンシャルに類似した補正項 a_P を導入する。
• 整数寄与 K に対する輪積分と和を用いて、行列要素 ⟨Q₁,P₁|q|Q₂,P₂⟩ および ⟨Q₁,P₁|p|Q₂,P₂⟩ を明示的に導出する。
• ϵ = e^{2π} を用いた正規化スキームを適用し、交換関係における 2π 要素を単純化する。
• 端状態を投影することで、正準交換関係 [q, p] = i を満たすようにし、標準的量子力学と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数上での離散的量子理論（P_i, Q_i）を、実数変数（q_i, p_i）上の標準的正準量子力学へユニタリに写像することは可能か？
• RQ2 離散的格子上での調和振動子ハミルトニアンを、動的を保存したまま連続的量子系へ写像する方法は何か？
• RQ3 座標および運動量演算子 q と p の明示的形は、離散的整数変数 P と Q に対してどのように表されるか？
• RQ4 離散的から連続的への写像において、正準交換関係 [q, p] = i はどのように回復され、何の補正が必要か？
• RQ5 この写像を介して、離散的変数上の決定論的進化を完全な量子形式論に埋め込むことは可能か？

主な発見

• 離散的変数（P, Q）から連続的観測量（q, p）への写像はユニタリであり、単位円上のフーリエ型変換を用いて明示的に構成されている。
• q 演算子の行列要素は ⟨Q₁,P₁|q|Q₂,P₂⟩ = Q₁δ_{Q₁Q₂}δ_{P₁P₂} + (-1)^{P+Q+1} iP / (P² + Q²) で与えられ、ここで P = P₂−P₁ および Q = Q₂−Q₁ である。
• 同様に、p 演算子の行列要素は ⟨Q₁,P₁|p|Q₂,P₂⟩ = P₁δ_{Q₁Q₂}δ_{P₁P₂} + (-1)^{P+Q} iQ / (P² + Q²) で与えられる。
• 交換子 [q, p] は、端状態を投影した後、⟨ψ_edge|ψ⟩ = 0 が満たされる場合にのみ i に一致する。
• ベクトルポテンシャル項 a_Q および a_P は位相関数 ϕ(η_P, η_Q) から生じ、整数 K に対する和をとることで全演算子構造が得られる。
• この形式論は、連続的量子力学が、正準同型を通じて離散的・決定論的力学から生じることを示しており、量子理論の背後にあるより深い離散的基盤を示唆している。