[論文レビュー] Relational mechanics of shape and scale

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 37被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、スケールを含む関係的粒子力学の配置空間が、スケールフリーな配置空間のコーンであることを確立している—1次元では球面、2次元では複素射影空間である—これにより、量子宇宙論におけるスケールの幾何的枠組みが可能になる。本稿は関係的力学におけるモノポール問題を解消し、並進および拡大接続が幾何学的に平坦であることを示すことで、ディラックモノポールの障害を回避する半古典的時間のアプローチを拡張する。

ABSTRACT

Relational particle mechanics models (RPM's) are useful models for the problem of time in quantum gravity and other foundational issues in quantum cosmology. Some concrete examples of scalefree RPM's have already been studied, but it is the case with scale that is needed for the semiclassical and dilational internal time approaches to the problem of time. In this paper, I show that the scaled RPM's configuration spaces are the cones over the scalefree RPM's configuration spaces, which are spheres in 1-d and complex projective spaces in 2-d for plain shapes, and these quotiented by Z_2 for oriented shapes. I extend the method of physical interpretation by tessellation of the configuration space and the description in terms of geometrical quantities to the cases with scale and/or orientation. I show that there is an absence of monopole issues for RPM's and point out a difference between quantum cosmological operator ordering and that used in molecular physics. I use up RPM's freedom of the form of the potential to more closely parallel various well-known cosmologies, and begin the investigation of the semiclassical approach to the problem of time for such models.

研究の動機と目的

• 量子重力および宇宙論におけるスケールフリーなモデルの先行研究を拡張し、スケールを含む関係的力学の枠組みを構築すること。
• スケールが存在する状況における配置空間の幾何的構造を明確にし、それらがスケールフリー空間のコーンであることを示すこと。
• 並進および拡大接続が平坦であることを示すことにより、関係的力学における潜在的なモノポール問題を解消し、ディラックモノポール特異性を回避すること。
• スケールと方向性を組み込むことにより、時間の問題に対する半古典的アプローチを拡張し、内部時間形式主義を可能にすること。
• 量子宇宙論における演算子順序付けと分子物理学を比較し、量子化スキームにおける基礎的差異を強調すること。

提案手法

• 幾何学的および位相的手法を用いて、スケール付き関係的粒子力学（RPM）の配置空間を、スケールフリーな配置空間のコーンとして導出する。
• タイル張り（tessellation）および幾何的解釈技術を適用し、スケールおよび方向性を含む配置空間を視覚化および分析する。
• 再パラメータ化不変性を持つジャコビ型作用を用いて時間の関係的原理を実装し、余分な時間変数の存在を回避する。
• 類似変換群（並進、回転、拡大）の作用による商空間として配置空間をモデル化し、スケールフリーな場合を基底空間とする。
• 並進および拡大のゲージ接続を分析し、それらの曲率が勾配形式から生じるため消えること、したがって幾何学的に自明であることを示す。
• 量子宇宙論における演算子順序付けと分子物理学を比較し、量子化における明確な物理的意味の違いを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケールの導入が、関係的粒子力学の配置空間構造にどのように影響するか？
• RQ2 スケール付きRPMの配置空間の幾何的性質は何か？ また、スケールフリー空間のコーンとどのように関係するか？
• RQ3 RPMモデルにおける並進および拡大のゲージ接続にモノポール障害が存在するか？
• RQ4 関係的力学においてスケールと方向性を含めるには、半古典的時間のアプローチをどのように拡張できるか？
• RQ5 関係的モデルの文脈において、量子宇宙論と分子物理学における演算子順序付けの違いは何か？

主な発見

• スケール付きRPMの配置空間は、スケールフリーな配置空間のコーンであり、1次元配置では球面、2次元配置では複素射影空間を形成する。
• 方向性が考慮された場合、配置空間はこれらの空間をℤ₂で割った商空間となる。これは鏡像の同一視を反映している。
• 並進および拡大のゲージ接続は平坦（曲率が消える）であり、勾配から生じるため、ディラックモノポール問題が解消される。
• RPMにおけるモノポールの不在は、配置空間の特定の幾何的構造と接続の形式に起因し、標準的ゲージ理論とは対照的である。
• タイル張りおよび幾何的量による物理的解釈の手法は、スケールおよび方向性を含むモデルへも成功裏に拡張可能である。
• 本稿は、量子宇宙論と分子物理学における演算子順序付けの重要な差異を特定し、別個の量子化規定が必要である可能性を示唆している。