[論文レビュー] Relational Semigroups and Object-Free Categories

James Cranch, Simon Doherty+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、部分的演算を三項関係としてモデル化することにより、関係的セミグループとオブジェクトを含まない圏の間の形式的関係を確立する。一貫性のある部分的モノイドが複数の単位元を持つ場合、それらはオブジェクトを含まない圏に対応することを示す。部分代数系のための関係的枠組みを導入し、代数的クラス間の厳密な分離（例えば、部分的モノイドは関係的モノイドの真部分集合である）を証明する。また、零元を付加することで全関数的構造が得られ、特に ℓr-圏の全関数的化としてのカテゴリカルセミグループが得られることを示す。

ABSTRACT

This note relates axioms for partial semigroups and monoids with those for small object-free categories, either with multiple monoidal units or with source and target maps. We discuss the adjunction of a zero element to both kinds of category and provide examples that separate the algebras considered.

研究の動機と目的

• 部分的セミグループ／モノイドとオブジェクトを含まない圏の関係を、関係的代数的枠組みを用いて明確化すること。
• オブジェクトを含まない圏が、複数の単位元を持つ一貫性のある部分的モノイドに正確に対応することを示すこと。
• 部分代数系に零元を付加することで生じる影響を調査し、カテゴリカルセミグループのような全関数的構造が得られることを示すこと。
• 構成的例を用いて、部分代数系のさまざまなクラス（例えば、部分的モノイド、関係的モノイド、一貫性のあるモノイド）の間の厳密な分離を確立すること。
• 有界準同型と関手を用いて、関係的構造とカテゴリカルモデルの間の双対的対応を確立すること。

提案手法

• 部分的演算を三項関係 $ R \subseteq X \times X \times X $ としてモデル化し、機能性と結合則を関係的に定義する。
• 一貫性を $ R^{v}_{xy} \land D^{y}_{z} \Rightarrow D^{v}_{z} $ として定義し、圏の合成におけるソース・ターゲットの一致を保証する。
• 関係的単位元を導入：$ e \in X $ が左／右単位元であるとは、$ R^{x}_{ex} \Rightarrow x = e $ を満たすときを指す。両方の条件を満たす場合、単位元と呼ぶ。
• 関係的構造 $ (X, R) $ に零元 $ 0 $ を付加し、$ R $ を $ R_0 $ に拡張する。ここで $ (R_0)^0_{xy} $ が成り立つのは $ \neg D^x_y $ のときであり、これにより合成が全関数的になる。
• オブジェクトを含まない圏間の関手を表すために、三項関係間の有界準同型 $ (f, g, h) $ を用いる。
• 冪集合代数を用いて全関数的化を構成する：$ (\mathcal{P}X, \cdot, E) $ で、$ \{x\} \cdot \{y\} = \{x \cdot y\} $ とし、$ \eta: X \to \mathcal{P}X $ を埋め込みとみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係的セミグループおよびモノイドは、複数の単位元を持つオブジェクトを含まない圏とどのように関係しているか？
• RQ2 オブジェクトを含まない圏は、部分的モノイドおよび一貫性の観点から、どのように正確に代数的に特徴づけられるか？
• RQ3 零元を部分代数系に付加することで、関係的および部分的代数系はどのように変化し、どのような全関数的構造が生じるか？
• RQ4 部分代数系のクラス（例えば、部分的モノイドと関係的モノイド）の間で、厳密な分離を確立できるか？
• RQ5 $ \ell $ および $ r $ 関数は、$ \ell r $-圏をカテゴリカルセミグループに全関数的化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 部分的モノイドのクラスは、関係的モノイドのクラスに真に含まれる。これは、$ \Sigma^* $ 上でのシャッフル演算が、全関係的モノイドではあるが、合成の一意性に欠けるため部分的モノイドではないことから示される。
• 関係的モノイドは複数の単位元を持つ可能性がある。2要素集合 $ \{e, e'\} $ において $ R^e_{ee} $ および $ R^{e'}_{e'e'} $ が成り立つ例により、単位元が一意でなくてもよいことが示される。
• 一貫性のある関係的モノイドのクラスは、関係的モノイドのクラスに真に含まれる。$ R^e_{ee}, R^a_{ea}, R^a_{ae} $ を満たす構造において、$ D^e_a $ が成り立つが $ D^a_a $ が成り立たないため、一貫性が破れる。
• オブジェクトを含まない圏は、部分的モノイドのクラスに真に含まれる。3要素部分的モノイドが一貫性を破る例、および領域が重複する部分的自己関数の例の2つにより、反例が示される。
• 関係的構造に零元を付加すると、単位元が弱単位元に変わる。例6.2に零元を拡張した場合、$ e $ および $ e' $ はもはや単位元の公理を満たさないが、依然として弱単位元の性質を保つ。
• スヴィーザーとスクラーが定義したカテゴリカルセミグループは、零元を含む $ \ell r $-圏と同値であり、任意の $ \ell r $-圏は零元の付加によりカテゴリカルセミグループに埋め込める。