[論文レビュー] Relational symplectic groupoids and Poisson sigma models with boundary

Iván Contreras|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、可積分および非可積分なポアソン多様体を統一的に統合する枠組みとして、境界付きポアソンシグマ模型の縮約済み位相空間を経由するカッタネオ＝フェルダーの構成を一般化することで、関係的シンプレクティック群体を導入する。主な貢献は、弱シンプレクティック多様体における正準関係を用いたカテゴリカルかつ縮約前の定式化であり、これは自然にポアソン構造を符号化し、可積分性および量子化の新しい視点を提供する。特にブレインと無限次元幾何学の文脈において顕著である。

ABSTRACT

We introduce the notion of relational symplectic groupoid as a way to integrate Poisson manifolds in general, following the construction through the Poisson sigma model (PSM) given by Cattaneo and Felder. We extend such construction to the infinite dimensional setting, where we are able to describe the relational symplectic groupoid in terms of immersed Lagrangian Bannach submanifolds. This corresponds to a groupoid object in the "extended symplectic category" and it can be related to the ususal version of symplectic groupoids via reduction. We prove the existence of such an object for any Poisson manifold and the uniqueness of a compatible Poisson structure on the base, for a special type of relational symplectic groupoids. We develop the notion of equivalence, that allows us to compare finite and infinite dimensional examples. We discuss some other extensions to different categories, where the relational construction still make sense, in an effort to understand better geometric quantization of symplectic manifolds in this new perspective.

研究の動機と目的

• 可積分および非可積分なポアソン多様体の統合的統合を、新たな幾何的枠組みを用いて行う。
• 境界付きポアソンシグマ模型の縮約済み位相空間から得られるシンプレクティック群体のカッタネオ＝フェルダーの構成を一般化する。
• ポアソンシグマ模型の位相空間を、前縮約の形で関係的シンプレクティック群体として定式化する。
• 弱シンプレクティック多様体における正準関係を用いたカテゴリカル枠組みを確立し、関係的シンプレクティック群体を定義する。
• この構成を数学的物理における量子化およびブレイン構造と結びつける。

提案手法

• 関係的シンプレクティック群体を、弱シンプレクティック多様体における埋め込まれたラグランジュ部分多様体（正準関係）として表現される特別な対象として定義する。
• 境界条件を伴うポアソンシグマ模型の未縮約位相空間として関係的シンプレクティック群体を構成する。
• 正準関係（例えば、バンドル写像のグラフなど）を用いてシンプレクティック構造およびポアソン構造を符号化し、Courant括弧およびディラック構造と整合性を保証する。
• 可積分な場合に標準的シンプレクティック群体に一致するように、関係的シンプレクティック群体に同値関係を導入する。
• クレイン＝フェルナンデスの可積分性条件を、関係的群体構造の観点から特徴づける。特に無限次元設定において。
• 主な例として、ポアソン多様体の経路空間の余接 bundle にこの枠組みを適用し、関係的シンプレクティック群体が実際に実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可積分なポアソン多様体の統合は、カッタネオ＝フェルダーの構成の一般化を用いて、どのように体系的に記述可能か？
• RQ2 境界付きポアソンシグマ模型の未縮約位相空間のカテゴリカルかつ幾何的構造は何か？ そして、それがどのようにポアソン構造を符号化するか？
• RQ3 可積分な場合に、関係的シンプレクティック群体は標準的シンプレクティック群体とどのように関係するか？ また、この文脈における同値関係の役割は何か？
• RQ4 関係的シンプレクティック群体の枠組みは、ポアソンシグマ模型における量子化およびブレインの研究をどのように促進するか？
• RQ5 クレイン＝フェルナンデスの可積分性条件は、関係的群体構造の観点から、どのように正確に特徴づけられるか？

主な発見

• 関係的シンプレクティック群体は、境界付きポアソンシグマ模型の前縮約位相空間として構成され、可積分および非可積分なポアソン多様体を統一的に扱う枠組みを提供する。
• 正準関係およびディラック構造を介して、関係的群体上のシンプレクティック構造が、底面多様体のポアソン構造と自然に整合することが示された。
• 有限次元の関係的シンプレクティック群体の具体例が構成され、無限次元の場合に限らない枠組みの有効性が実証された。
• 関係的シンプレクティック群体に導入された同値関係により、可積分な場合に標準的シンプレクティック群体が回復可能であり、従来の理論と整合性が保たれた。
• 主な例（ポアソン多様体の経路空間の余接 bundle）において、関係的シンプレクティック群体は無限次元位相空間として実現され、クレイン＝フェルナンデスの可積分性条件がこの枠組み内で完全に特徴づけられた。
• この枠組みは、他のモノイダル dagger 圈に自然に拡張可能であり、幾何的量子化およびトポロジカル場理論への広範な応用可能性を示唆している。