[論文レビュー] Relations between conjectural eigenvalues of Hecke operators on submotives of Siegel varieties

Dmitry Logachev|ArXiv.org|May 23, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ラングランズ＝アーチャー予想とサタケ写像を用いて、Siegel多様体の部分モチーフのコホロロジーにおける $p$-ヘッケ作用素の固有値の間の線形関係を予想的に導出する。主な結果は、これらの関係が $p$ に関して多項式的であり、再帰的性質を満たし、$g=2,3$ に対してウェイル数の計算とヘッケ多項式の因数分解により明示的な公式が与えられることである。

ABSTRACT

There exist conjectural formulas on relations between $L$-functions of submotives of Shimura varieties and automorphic representations of the corresponding reductive groups, due to Langlands -- Arthur. In the present paper these formulas are used in order to get explicit relations between eigenvalues of $p$-Hecke operators (generators of the $p$-Hecke algebra of $X$) on cohomology spaces of some of these submotives, for the case $X$ is a Siegel variety. Hence, this result is conjectural as well: methods related to counting points on reductions of $X$ using the Selberg trace formula are not used. It turns out that the above relations are linear, their coefficients are polynomials in $p$ which satisfy a simple recurrence formula. The same result can be easily obtained for any Shimura variety. This result is an intermediate step for a generalization of the Kolyvagin's theorem of finiteness of Tate -- Shafarevich group of elliptic curves of analytic rank 0, 1 over $Q$, to the case of submotives of other Shimura varieties, particularly of Siegel varieties of genus 3.

研究の動機と目的

• Siegel多様体の部分モチーフのコホロロジーにおける $p$-ヘッケ作用素の固有値の間の線形関係を予想的に確立すること。
• KolyvaginのTate–Shafarevich群に関する有限性定理を、 genus 3 のSiegel多様体の部分モチーフへ一般化すること。
• ウェイル数とサタケ写像を用いて、ヘッケ固有値の $p$ に関する明示的多項式関係を導出すること。
• Shimura多様体上の自動形式 $L$-関数のさらなる研究の基盤として、$g=2$ および $g=3$ に対する計算ツールと表を提供すること。

提案手法

• 再帰的群上の再帰的表現に言及するラングランズ＝アーチャー予想を用いて、部分モチーフの $L$-関数を再帰的群上の自動形式表現に関連付ける。
• サタケ写像を適用して、ウェイル数の間の関係を $p$-ヘッケ作用素の固有値の関係に翻訳する。
• $GSp_{2g}$ 内のパラボリック部分群 $P$ の構造を用いて、部分モチーフの固有値関係を分類および計算する。
• ウェイル数の対称多項式を用いて、固有値関係の多項式係数の再帰的関係を導出する。
• $g=2$ および $g=3$ に対して明示的な計算を実施し、ヘッケ多項式の因数分解とトレース関係の代入を含む。
• 付録に $g=2$ および $g=3$ に対する表を提供し、数値的検証および今後の応用を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Siegel多様体の部分モチーフのコホロロジーにおける $p$-ヘッケ作用素の固有値の間の線形関係は何か？
• RQ2 ラングランズ＝アーチャー予想によって誘発されるウェイル数の関係は、サタケ写像を介してどのようにヘッケ固有値の関係に翻訳されるか？
• RQ3 これらの固有値関係の多項式係数について、$p$ を変数として再帰的公式を導出できるか？
• RQ4 $g=2$ および $g=3$ のSiegel多様体に対して、これらの関係はどのような明示的形を取るか？
• RQ5 これらの関係は、より高次のSiegel多様体へのKolyvaginの有限性定理の一般化にどのように利用できるか？

主な発見

• 固有値 $\goth m_{p,i}$ 間の関係は線形であり、その係数は $p$ に関する多項式であり、単純な再帰公式を満たす。
• $g=3$ において、ヘッケ多項式は $\tau_p$ と $\tau_{p,1}$ で表され、$p^2$、$p^5$、$p^{10}$ を含む明示的係数を有する。
• 関係 $A = 0$ が成り立つ。ここで $A$ は $\goth m_p$、$\goth m_{p,1}$、$\goth m_{p,2}$ および $p$ の多項式の組み合わせであり、$\goth h_3 = 0$ から導出される。
• $A=0$ の条件下で、対称和 $\sigma_2(\alpha_*)$ は $p^2(\goth m_{p,2} - p^4 + p^3 - p^2 + 1)$ に簡約され、複雑さが軽減される。
• $g=3$ のヘッケ多項式は、(4.5) から $\tau_{p,2}$ を代入し、因数分解することで得られ、サタケパラメータに関して4次多項式となる。
• 付録の表は、$g=2$ および $g=3$ に対する $\goth m_{p,i}$ とウェイル数の明示的値を提供し、数値的および理論的拡張を支援する。