[論文レビュー] Relative Bertini type theorem for multiplier ideal sheaves

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多様体のファイバー空間上で、乗数イデアル層に関する相対的ベルティーニ型定理を確立し、完全線形系の一般な成分数に対して、乗数イデアル層の制限が元のイデアル層の制限と一致することを証明する。応用として、特異な計量を伴う複素多様体の族への古典的な消失定理の拡張である相対的Kollár–Nadelの消失定理を証明する。

ABSTRACT

We establish a relative Bertini type theorem for multiplier ideal sheaves. Then we prove a relative version of the Kollár--Nadel type vanishing theorem as an application.

研究の動機と目的

• 複素解析的空間を基とする相対的設定において、乗数イデアル層の古典的ベルティーニ型定理を一般化すること。
• 特異計量の存在下で一般の超平面切断に対して $\mathscr{J}(\varphi|_H) = \mathscr{J}(\varphi)|_H$ の等式が成立しないことの問題を扱うこと。
• 乗数イデアル層が適切に制限され、関連する短完全系列が成り立つような超平面切断のザリスキ・ドレインな集合の存在を確立すること。
• 解析的消失定理を族へ拡張するための主要応用として、相対的Kollár–Nadelの消失定理を証明すること。
• 完全線形系内での良い超平面切断の稠密性を、補集合が解析的にメイアブルでない場合でも調査すること。

提案手法

• 複素多様体 $X$、基底 $S$、および射影空間 $\mathbb{P}^N$ を含むファイバー積図式を用いて相対的設定を構築する。
• 写像 $h$ を通じて $\mathbb{P}^N$ 内の超平面の引き戻しを考察し、超平面切断の族 $H^\dagger = (h^\dagger)^*H^\prime$ を定義する。
• Ohsawa–Takegoshi の $L^2$ 拡張定理を適用して、制限下での乗数イデアル層の制御を行う。
• 擬・強調関数および特異ヘルミート計量を用いた解析的技法により、$\mathscr{J}(\varphi|_{H^\dagger})$ と $\mathscr{J}(\varphi)|_{H^\dagger}$ の比較を行う。
• Skoda の定理と $L^2$ 積分可能性を用いて、十分小さい $\varepsilon > 0$ に対して $\mathscr{J}(\varphi) = \mathscr{J}(\varphi + \varepsilon\psi)$ が成り立つことを示し、摂動に対する安定性を保証する。
• 定理 1.3（相対的Enoki型の単射性定理）を適用して、相対的Kollár–Nadel消失定理の証明における高次直接像の消失を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、乗数イデアル層 $\mathscr{J}(\varphi)$ の一般の超平面切断 $H^\dagger$ への制限が $\mathscr{J}(\varphi|_{H^\dagger})$ と一致するか？
• RQ2 短完全系列 $0 \to \mathscr{J}(\varphi) \otimes \mathcal{O}_X(-H^\dagger) \to \mathscr{J}(\varphi) \to \mathscr{J}(\varphi|_{H^\dagger}) \to 0$ が成り立つような $\mathbb{P}^N$ 内の超平面切断のザリスキ・ドレイン集合が保証されるか？
• RQ3 乗数イデアルの制限が失敗する超平面切断の集合は、解析的にメイアブルであるか、より強い意味で小さいか？
• RQ4 解析的手法および $L^2$ 拡張を用いて、族における相対的Kollár–Nadel消失定理を確立できるか？
• RQ5 環 $\mathcal{O}_X / \mathscr{J}(\varphi)$ の付随素イデアルの存在が、乗数イデアルの制限の挙動にどのように影響するか？

主な発見

• $\Lambda \simeq \mathbb{P}^N$ 内の超平面 $H^\prime$ で $\mathscr{J}(\varphi|_{H^\dagger}) = \mathscr{J}(\varphi)|_{H^\dagger}$ が成り立つ集合 $\mathcal{G}$ は、通常位相で $\Lambda$ 内で稠密である。
• 商環 $\mathcal{O}_X / \mathscr{J}(\varphi)$ の付随素イデアルを避ける超平面の集合 $\mathcal{H} \subset \mathcal{G}$ は、$\Lambda$ 内で稠密である。
• 任意の解析的にメイアブルな部分集合 $\mathcal{S} \subset \Lambda$ に対して、$\mathcal{G} \setminus \mathcal{S}$ および $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$ は $\Lambda$ 内で稠密のまま保たれる。
• すべての $H^\prime \in \mathcal{H}$ に対して、自然な短完全系列 $0 \to \mathscr{J}(\varphi|_{X^\dagger}) \otimes \mathcal{O}_{X^\dagger}(-H^\dagger) \to \mathscr{J}(\varphi|_{X^\dagger}) \to \mathscr{J}(\varphi|_{H^\dagger}) \to 0$ が成り立つ。
• 相対的Kollár–Nadel消失定理が成立する：与えられた曲率および計量条件の下で、すべての $i > 0$ およびすべての $j$ に対して $R^i\pi_*(M \otimes R^j f_*(\omega_X \otimes F \otimes \mathscr{J}(h))) = 0$ が成り立つ。
• 十分小さい $\varepsilon > 0$ に対して、$\Delta^n$ の $0$ の近傍で $\mathscr{J}(\varphi) = \mathscr{J}(\varphi + \varepsilon\psi)$ が成り立つ。これにより、乗数イデアルの小スケール摂動に対する安定性が保証される。