[論文レビュー] Relative directed homotopy theory of partially ordered spaces

Thomas Kahl|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、部分順序空間（pospaces）の圏が、弱同値を双方向ホモトピー同値とし、ファイブレーションを双ファイブレーションとし、コファイブレーションを双コファイブレーションとする閉じたモデル圏構造を備えていることを確立する。さらに、固定された部分順序空間を基準とする相対的指向ホモトピー論が良好に動作することを示し、固定された部分順序空間を基準とする部分順序空間の圏がファイブレーションおよびコファイブレーション圏を形成することを示し、コンピュータサイエンスにおける並列システムのモデル化に強固なホモトピー的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Algebraic topological methods have been used successfully in concurrency theory, the domain of theoretical computer science that deals with distributed computing. L. Fajstrup, E. Goubault, and M. Raussen have introduced partially ordered spaces (pospaces) as a model for concurrent systems. In this paper it is shown that the category of pospaces under a fixed pospace is both a fibration and a cofibration category in the sense of H. Baues. The homotopy notion in this fibration and cofibration category is relative directed homotopy. It is also shown that the category of pospaces is a closed model category such that the homotopy notion is directed homotopy.

研究の動機と目的

• 並列理論で用いられる部分順序空間（pospaces）のためのホモトピー論的枠組みを構築すること。
• 固定されたベース部分順序空間を基準とする文脈において、相対的指向ホモトピー（dihomotopy）を定義し形式化すること。
• 部分順序空間の圏が、指向ホモトピーをホモトピーの概念とする閉じたモデル圏であることを示すこと。
• すべての部分順序空間がファイブランティおよびコファイブランティであることを証明し、良好なホモトピー的挙動を保証すること。
• 閉じたモデル圏における双方向ホモトピーが、標準的な双方向ホモトピーの定義と一致することを確立すること。

提案手法

• 固定された部分順序空間を基準とする部分順序空間の圏を、コンma圏の構成を用いて形式化し、相対ホモトピーを定式化する。
• 時間順序付きのシステム遷移をモデル化するため、部分順序を保存するdimaps（指向連続写像）を定義する。
• 変形中にベース部分順序空間Cを固定するホモトピー H: (X,≤) × (I,Δ) → (Y,≤) を用いて、相対的双方向ホモトピーを導入する。
• 部分順序空間の圏にQuillenの閉じたモデル圏公理を適用し、弱同値を双方向ホモトピー同値と定義する。
• マッピングパス因子化と、部分空間 E ⊆ (X×Y Y^I) × I の構成を用いて、射を自明な双コファイブレーションとその後に続くファイブレーションに因子化する。
• 包含写像 i: X → E が自明な双コファイブレーションであることを、順序を保存しベースを固定するdimap Hを用いた変形リトラクションの構成により証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分順序空間の圏に、指向ホモトピーを反映する閉じたモデル圏構造を導入できるか？
• RQ2 固定されたベース部分順序空間を基準とする文脈において、相対的指向ホモトピー（dihomotopy）は良好に動作するか？
• RQ3 部分順序空間における標準的なホモトピー的構造（ファイブレーション、コファイブレーション、弱同値）は、並列処理理論からの指向的対応概念と整合するか？
• RQ4 このモデル構造において、すべての部分順序空間がファイブランティかつコファイブランティであるか？
• RQ5 閉じたモデル圏におけるホモトピーが、標準的な双方向ホモトピーの定義と一致するか？

主な発見

• 部分順序空間の圏は、弱同値を双方向ホモトピー同値とし、ファイブレーションを双ファイブレーションとし、コファイブレーションを双コファイブレーションとする閉じたモデル圏である。
• すべての部分順序空間がファイブランティかつコファイブランティであり、ホモトピー的構成においてすべての対象が良好に振る舞うことが保証される。
• 閉じたモデル圏におけるホモトピー関係は、dimaps間の標準的双方向ホモトピーの定義と完全に一致する。
• パスが初期状態および終了状態を固定する変形を通じてホモトープである場合に等価となる相対的双方向ホモトピー関係は、モデル構造によって正確に捉えられる。
• マッピングパス因子化の構成により、任意のdimapが自明な双コファイブレーションとその後に続くファイブレーションに因子化され、Quillenの因子化公理を満たす。
• 部分順序空間の像を構成されたパス空間 E に埋め込む包含写像は自明な双コファイブレーションであり、これはモデル圏公理の証明に不可欠である。