[論文レビュー] Relative entropy and the Pinsker product formula for sofic groups

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、相対的ソフィックエントロピーと局所的・二重経験的収束を用いて、ソフィック群の作用における外的ピンスカー因子の積公式を確立する。これは可換群理論からの結果を拡張したものであり、ソフィック群に対して、積作用の外的ピンスカー因子が個々の外的ピンスカー因子の積に一致することを証明し、これにより特定のモジュールのポントリャーギン双対上の代数的作用が、関連する作用素が可逆であるとき完全に正のエントロピーを持つことを示す。

ABSTRACT

We continue our study of the outer Pinsker factor for probability measure-preserving actions of sofic groups. Using the notion of doubly quenched convergence developed by Austin, we prove that in many cases the outer Pinsker factor of a product action is the product of the outer Pinsker factors. Our results are parallel to those of Seward for Rohklin entropy. We use these Pinsker products formulas to show that for many actions of a sofic group G on X where X is a compact group and the action is by automorphism, the (measurable) outer Pinsker factor of the action of G on X is given as a quotient by a G-invariant, closed, normal subgroup. We use our results to show that if G is sofic and f in M_{n}(Z(G)) is invertible as a convolution operator, then the action of G on the Pontryagin dual of \Z(G)^{\oplus n}/\Z(G)^{\oplus n}f has completely positive measure-theoretic entropy with respect to the Haar measure. This last application requires our previous work connecting topological entropy in the presence as defined by Li-Liang to measure-theoretic entropy in the presence (implicitly defined by Kerr) for actions on compact groups. In particular, we need our previous formulation of measure-theoretic entropy in the presence in terms of a given topological model.

研究の動機と目的

• 可換群理論からのピンスカー因子の積公式を、ソフィック群へと拡張し、セワードらの結果を一般化すること。
• 適切な収束条件下で、ソフィック群における積作用の外的ピンスカー因子が、個々の外的ピンスカー因子の積に一致することを確立すること。
• 積公式をコンパクト群上の代数的作用に適用し、ピンスカー因子が閉じた、$G$-不変で正規な部分群による商として現れることを示すこと。
• 群環上の可逆な畳み込み作用素が、そのポントリャーギン双対上で完全に正の測度論的エントロピーを有する作用を誘導することを証明すること。

提案手法

• オースティンが導入した局所的および二重経験的収束の概念を用いて、ソフィック群作用におけるエントロピーを分析する。
• マイクロステート近似を介して、観測量とその条件付きエントロピーの間のエントロピーを比較する相対的ソフィックエントロピー理論を適用する。
• ソフィック設定におけるアブラモフ＝ロフリン公式を用いて、相対エントロピーとピンスカー因子構造の関係を関係づける。
• 特定の収束状態において、ソフィックエントロピーと測度論的エントロピーが等価であることを活用し、積公式を導出する。
• スターリングの近似とエントロピーの上限・下限を用いて、主要定理の証明におけるマイクロステート数を制御する。
• 代数的作用とモジュール構造の双対性を活用し、エントロピー問題を作用素の可逆性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソフィック群における積作用の外的ピンスカー因子は、局所的および二重経験的収束の条件下で、個々の外的ピンスカー因子の積に分解可能か？
• RQ2 コンパクト群上の代数的作用における外的ピンスカー因子は、閉じた、$G$-不変で正規な部分群による商として記述可能か？
• RQ3 ポントリャーギン双対上の代数的作用が完全に正の測度論的エントロピーを持つのはどのような条件下か？
• RQ4 ソフィック設定において、因子写像と条件付きエントロピー分解に関して、相対的ソフィックエントロピーはどのように振る舞うか？

主な発見

• 局所的および二重経験的収束の条件下で、ソフィック群の積作用の外的ピンスカー因子は、個々の作用の外的ピンスカー因子の積に同型である。
• コンパクト群への自動同型によるソフィック群の作用に対して、外的ピンスカー因子は、群の閉じた、$G$-不変で正規な部分群による商として実現される。
• $f \in M_n(\mathbb{Z}(G))$ が $\ell^2(G)^{\oplus n}$ 上の畳み込み作用素として可逆であれば、$\mathbb{Z}(G)^{\oplus n}/\mathbb{Z}(G)^{\oplus n}f$ のポントリャーギン双対上の作用は完全に正の測度論的エントロピーを持つ。
• 相対的ソフィックエントロピーは可換な場合に古典的測度論的エントロピーと一致し、この積公式はその設定で既知の結果を回復する。
• 条件付き相対エントロピー $h_{(\sigma_i),\mu}(\alpha|\beta:\gamma)$ は古典的相対エントロピー $h_\mu(\alpha|S_\beta,G)$ に等しく、マイクロステートと測度論的エントロピーの間の橋渡しを確立する。