[論文レビュー] Cost, $\ell^2$-Betti numbers and the sofic entropy of some algebraic actions

Damien Gaboriau, Brandon Seward|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ソフィック群の代数的作用の文脈において、ソフィックエントロピー、$β_1^{(2)}$-ベッチ数、およびコストの間の深い関係を確立する。オルンシュタイン＝ヴァイスの因子写像を一般化することで、因子写像におけるエントロピーの増加が群の第一 $β_1^{(2)}$-ベッチ数とコストによって支配されることを示し、ホモクライニック部分群が稠密であるようなプロファイント群上の代数的作用に対して、位相的および測度的ソフィックエントロピーが一致することを証明する。

ABSTRACT

In 1987, Ornstein and Weiss discovered that the Bernoulli $2$-shift over the rank two free group factors onto the seemingly larger Bernoulli $4$-shift. With the recent creation of an entropy theory for actions of sofic groups (in particular free groups), their example shows the surprising fact that entropy can increase under factor maps. In order to better understand this phenomenon, we study a natural generalization of the Ornstein--Weiss map for countable groups. We relate the increase in entropy to the cost and to the first $\ell^2$-Betti number of the group. More generally, we study coboundary maps arising from simplicial actions and, under certain assumptions, relate $\ell^2$-Betti numbers to the failure of the Juzvinski{\uı} addition formula. This work is built upon a study of entropy theory for algebraic actions. We prove that for actions on profinite groups via continuous group automorphisms, topological sofic entropy is equal to measure sofic entropy with respect to Haar measure whenever the homoclinic subgroup is dense. For algebraic actions of residually finite groups we find sufficient conditions for the sofic entropy to be equal to the supremum exponential growth rate of periodic points.

研究の動機と目的

• 非アーメン群作用における因子写像によるエントロピー増加の理由を理解すること、特にオルンシュタイン＝ヴァイスの例を踏まえて。
• 任意の生成集合および有限アーベル群に対して、オルンシュタイン＝ヴァイス因子写像を一般化すること。
• ソフィックエントロピーの増加が、作用群の第一 $β_1^{(2)}$-ベッチ数およびコストとどのように関係するかを特定すること。
• プロファイント群上の代数的作用に対して、位相的および測度的ソフィックエントロピーが一致する条件を確立すること。
• 同値関係におけるソフィックエントロピー、ロフリンエントロピー、およびコストや $β_1^{(2)}$-ベッチ数といった不変量との関係を調査すること。

提案手法

• コブネイリオ構成を用いてオルンシュタイン＝ヴァイス写像を一般化：群 $G$、生成集合 $S$、有限アーベル群 $K$ に対して、$\theta_S^{ow}(x)(g)(s) = x(g) - x(gs) \mod K$。
• 一般化された写像の核と像を分析することで、エントロピー増加がコストや $\ell^2$-ベッチ数といった群不変量と関係づけられるようにする。
• 連続自己同型を用いたプロファイント群上の代数的作用の理論を活用し、位相的および測度的ソフィックエントロピーを比較する。
• ソフィックエントロピー理論の結果、特にロフリンエントロピーとソフィック群のoidにおけるボーネンの定義を応用し、拡張における相対エントロピーを研究する。
• 再帰的に有限群に対しては、適切な条件下でソフィックエントロピーが周期点の指数的増加率に等しいことを確立する。
• 非アーメンな設定において失敗するユズヴィンスキー加法定理を活用し、因子写像におけるエントロピー行動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたオルンシュタイン＝ヴァイス写像は、非アーメン群作用における因子写像によるソフィックエントロピー増加をどのように説明するか？
• RQ2 エントロピーの増加は、作用群の第一 $\ell^2$-ベッチ数およびコストと、どの程度関連しているか？
• RQ3 プロファイント群上の代数的作用に対して、位相的ソフィックエントロピーが測度的ソフィックエントロピーに等しくなる条件は何か？
• RQ4 周期点の指数的増加率を用いて、再帰的に有限群のソフィックエントロピーを計算できるか？
• RQ5 同値関係の文脈において、$\ell^2$-ベッチ数、コスト、およびソフィックエントロピーの間には、より深い関係が存在するか？

主な発見

• 一般化されたオルンシュタイン＝ヴァイス写像は、群 $G$ の第一 $\ell^2$-ベッチ数 $\beta_1^{(2)}(G)$ およびコスト $\mathcal{C}(G)$ に比例した量だけエントロピーを増加させる。
• ホモクライニック部分群が稠密であるようなプロファイント群上の代数的作用に対して、位相的ソフィックエントロピーはハール測度に関する測度的ソフィックエントロピーと一致する。
• 再帰的に有限群の代数的作用のソフィックエントロピーは、適切な条件下で周期点の上界指数的増加率に等しい。
• 自由なp.m.p.作用 $G \curvearrowright X \times (K^G / K)$ のロフリンエントロピーは、$\mathcal{C}(G \curvearrowright X) \cdot \log |K|$ によって上から抑えられる。
• 同値関係における $\beta_1^{(2)}(R) + 1$ とソフィックエントロピーの間には、推測される不等式が存在し、エントロピーと $\ell^2$-ベッチ不変量との間の等価性を示唆する。
• コスト、$\ell^2$-ベッチ数、およびソフィックエントロピーの間の不等式が実際に等式であるかどうかという未解決の問題を提起しており、統一的なエントロピー的枠組みの可能性を示唆している。