[論文レビュー] Relative entropy optimization in quantum information theory via semidefinite programming approximations

Hamza Fawzi, Omar Fawzi|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、相対エントロピー最適化として表現される量子情報測度を数値的に計算するための半定形計画法（SDP）ベースのフレームワークを提示する。このフレームワークは、行列対数関数の近似法を活用しており、量子相対エントロピーの非多項式的性質を扱う。相対エントロピーの量子もつれ度やチャネル容量といった量の計算を可能にし、相対エントロピー回復に基づく量子条件付き相互情報量の下界に関する予想に対する数値的反例を提供する。

ABSTRACT

Many quantum information measures can be written as an optimization of the quantum relative entropy between sets of states. For example, the relative entropy of entanglement of a state is the minimum relative entropy to the set of separable states. The various capacities of quantum channels can also be written in this way. We propose a unified framework to numerically compute these quantities using off-the-shelf semidefinite programming solvers, exploiting the approximation method proposed in [Fawzi, Saunderson, Parrilo, Semidefinite approximations of the matrix logarithm, arXiv:1705.00812]. As a notable application, this method allows us to provide numerical counterexamples for a proposed lower bound on the quantum conditional mutual information in terms of the relative entropy of recovery.

研究の動機と目的

• 相対エントロピー最適化として定式化された量子情報測度を統一的に数値計算するアプローチを開発すること。
• 分離状態などの凸集合上での量子相対エントロピーの最小化という計算課題に取り組むこと。
• 相対エントロピーのもつれ度や量子チャネル容量といった量の実用的計算を可能にすること。
• 相対エントロピー回復に基づく量子条件付き相互情報量の下界に関する予想を検証し、反証すること。

提案手法

• 量子情報における相対エントロピー最適化問題の近似解を求めるために、半定形計画法（SDP）ソルバを用いる。
• Fawziら（2017）の行列対数関数近似法を採用し、量子相対エントロピー関数の非多項式的性質に対処する。
• 相対エントロピーのもつれ度やチャネル容量といった量子情報測度を、量子状態上の凸最適化問題に再定式化する。
• 相対エントロピー回復に対するSDP近似を適用し、それが条件付き相互情報量の下界を定める役割を評価する。
• 実用的インスタンスにおける数値的安定性とスケーラビリティを実現するために、市販のSDPソルバを活用する。
• 数値実験を通じて手法の妥当性を検証し、理論的予想に対する反例生成を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子情報における相対エントロピー最適化問題は、半定形計画法による近似によって効率的に解けるか？
• RQ2 提案手法は、相対エントロピーのもつれ度や他の量子情報測度を正確に計算できるか？
• RQ3 この手法は、相対エントロピー回復に基づく量子条件付き相互情報量の下界に関する予想に対して、数値的反例を検出できるか？
• RQ4 実用的状況下で、行列対数関数近似法は量子相対エントロピーの非線形性をどれほど適切に捉えられるか？
• RQ5 このフレームワークは、さまざまな量子情報タスクにおいて、数値的性能と信頼性に優れているか？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、標準的なSDPソルバを用いて、相対エントロピーのもつれ度やチャネル容量といった量子情報測度を効果的に計算できた。
• 量子相対エントロピーの行列対数関数近似技術を活用することで、高精度な数値近似が達成された。
• 相対エントロピー回復に基づく量子条件付き相互情報量の下界に関する予想に対して、数値的反例を生成した。
• 反例は、予想された下界が一般には成り立たないことを示しており、量子情報理論における以前に提案された不等式に疑問を呈するものである。
• フレームワークは頑健でスケーラブルであり、従来は計算が困難であった複雑な量子情報量の数値的探索を可能にした。