[論文レビュー] Relative free splitting and free factor complexes I: Hyperbolicity

Michael Handel, Lee Mosher|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、自由因子系に関して群の相対的自由分割複体および自由因子複体の双曲的性質を確立し、以前の絶対的複体に関する結果を一般化する。自由分割複体から自由因子複体への射影写像を定義し、Kapovich–Rafiの擬等長埋め込み定理を適用することで、相対的自由分割複体内の測地線が、相対的自由因子複体内の測地線に一様に近接して射影されることを証明し、自由因子系を備えた群の一般設定において双曲的性質が成立することを確認した。

ABSTRACT

We study the large scale geometry of the relative free splitting complex and the relative free factor complex of the rank $n$ free group $F_n$, relative to the choice of a free factor system of $F_n$, proving that these complexes are hyperbolic. Furthermore we present the proof in a general context, obtaining hyperbolicity of the relative free splitting complex and of the relative free factor complex of a general group $Γ$, relative to the choice of a free factor system of $Γ$. The proof yields information about coarsely transitive families of quasigeodesics in each of these complexes, expressed in terms of fold paths of free splittings.

研究の動機と目的

• 群に自由因子系が与えられた相対的設定において、絶対的自由分割複体および自由因子複体の双曲的性質に関する先行結果を一般化すること。
• 群 $\Gamma$ と自由因子系 $\mathcal{A}$ に対して、相対的自由分割複体 $\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ および相対的自由因子複体 $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ を定義し、それらを研究すること。
• これらの相対的複体が、$\mathcal{A}$ が非例外的であっても、空でなく連結でかつ双曲的であることを確立すること。
• GuirardelとLevittの相対的外部空間形式を用いて、自由群に限らない任意の群へと枠組みを拡張すること。
• 相対的自由分割複体から相対的自由因子複体への射影が、擬等長的性質を保存することを証明し、測地線像に対する一様な制御を保証すること。

提案手法

• 自由因子系 $\mathcal{A}$ を満たす自由分割 $T$ の同値類のなす単体複体として、相対的自由分割複体 $\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ を定義する。ここで $\mathcal{F}(T) \succ \mathcal{A}$ であり、$S \succ T$ を部分順序として用いる。
• 自由因子系 $\mathcal{B}$ で $\mathcal{A} \sqsubset \mathcal{B} \neq \{[\Gamma]\}$ を満たすものに対する部分順序 $\sqsubset$ の幾何的実現として、相対的自由因子複体 $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ を定義する。
• 自由因子系 $\mathcal{F}(T) \neq \mathcal{A}$ である限り、各自由分割 $T$ をその自由因子系 $\mathcal{F}(T)$ に写す特別な射影写像 $\pi: \mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A}) \to \mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ を構成する。
• Kapovich–Rafiの擬等長埋め込み定理を適用し、写像 $\pi$ がリプシッツ的であり、$\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内の測地線の像が $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内の測地線に一様にハウスドルフ距離で近接することを検証する。
• 折り畳み列と準測地線の再パrametrizationを用いて、$\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内の任意の路で $\mathcal{F}(T)$-径大が有界であるものは、$\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内で一様に有界な集合に射影されることを示す。
• 複体 $\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ の双曲的性質と写像 $\pi$ のリプシッツ性を活用し、擬等長埋め込み定理を用いて $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ の双曲的性質を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $\Gamma$ の適切な自由因子系 $\mathcal{A}$ に対して、相対的自由分割複体 $\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ は双曲的か？
• RQ2 相対的自由分割複体から相対的自由因子複体への射影は、測地線の擬等長的構造を保存するか？
• RQ3 特に $\mathcal{A}$ が非例外的である場合に、相対的自由因子複体 $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ の双曲的性質を絶対的ケースに依存せずに確立できるか？
• RQ4 自由分割における折り畳み列の構造は、その射影が自由因子複体内でどの程度の径大を持つのかとどのように関係するか？
• RQ5 自由群に関する結果を、自由因子系を備えた任意の群へどの程度一般化できるか？

主な発見

• 任意の群 $\Gamma$ の適切な自由因子系 $\mathcal{A}$ に対して、相対的自由分割複体 $\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ は空でなく、連結で、かつ双曲的である。
• 任意の非例外的自由因子系 $\mathcal{A}$ に対して、相対的自由因子複体 $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ は正の次元を持ち、連結で、かつ双曲的である。
• 射影写像 $\pi: \mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A}) \to \mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ はリプシッツ的であり、$\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内の任意の測地線は、$\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内の測地線に一様にハウスドルフ距離で近接する。
• 端点が $\mathcal{A}$ に等しくない場合、測地線の像は $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ 内で径大が最大で1に一様に有界である。
• $\mathcal{FF}(\Gamma;\mathcal{A})$ の双曲的性質は、$\mathcal{FS}(\Gamma;\mathcal{A})$ の双曲的性質と $\pi$ の擬等長埋め込み性質から、Kapovich–Rafi定理を介して導かれる。
• 結果は自由群に限らず、自由因子系 $\mathcal{A}$ を備えた任意の群 $\Gamma$ へと拡張可能であり、GuirardelとLevittの相対的外部空間の枠組みを一般化する。