[論文レビュー] The Tits alternative for the automorphism group of a free product

Camille Horbez|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、自由に分解不能な群（ℤに同型でないもの）と有限生成自由群の自由積に分解される有限生成群の外部自己同型群に対するティーツの代替定理を確立する。各因子およびその外部自己同型群がティーツの代替定理を満たすものと仮定すれば、問題は分解不能な部分に還元可能であり、右側アーティン群や、ほとんどアーベル的パラメータ部分群をもつ純粋に可換な相対的双曲的群の外部自己同型群に対する新しい証明を可能にする。

ABSTRACT

Let $G=G_1\ast\dots\ast G_k\ast F$ be a countable group which splits as a free product, where all groups $G_i$ are freely indecomposable and not isomorphic to $\mathbb{Z}$, and $F$ is a finitely generated free group. If for all $i\in\{1,\dots,k\}$, both $G_i$ and its outer automorphism group $ ext{Out}(G_i)$ satisfy the Tits alternative, then $ ext{Out}(G)$ satisfies the Tits alternative. As an application, we prove that the Tits alternative holds for outer automorphism groups of right-angled Artin groups, and of torsion-free groups that are hyperbolic relative to a finite family of virtually polycyclic groups.

研究の動機と目的

• 特定の構造的条件下で、自由積の外部自己同型群に対するティーツの代替定理を確立すること。
• Out(F_N) や写像類群に関する既存の結果を、分解不能因子への還元によって一般化すること。
• チャニーとフォグトマンが提起した、右側アーティン群の外部自己同型群に対するティーツの代替定理に関する疑問を解決すること。
• ほとんどアーベル的パラメータ部分群をもつ純粋に可換な相対的双曲的群の外部自己同型群に対し、ティーツの代替定理を拡張すること。

提案手法

• 有限生成群を自由に分解不能な群と自由群の自由積に分解するためのグルーシコ分解を用いる。
• 各分解不能因子およびその外部自己同型群にティーツの代替定理を適用し、基本ケースとする。
• ティーツの代替定理の拡張、部分群、有限指数上位群、同型写像に関する安定性を用いる。
• グイラールデルとレヴィットによる、相対的双曲的群の相対的自己同型群が自明である場合の外部自己同型群の構造に関する結果を適用する。
• ほとんどアーベル的群の外部自己同型群が SL_N(ℤ) に埋め込めるため、ティーツの代替定理を満たすという事実を用いる。
• マッピングクラス群とパラメータ部分群の外部自己同型群を含む完全列を用いて、Out(G) の研究を、自由に分解不能な群に対する相対的状況に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由積の外部自己同型群に対するティーツの代替定理は、その分解不能因子およびそれらの外部自己同型群のティーツの代替定理から導かれるか？
• RQ2 定義グラフ Γ に均一性の仮定を課さずに、右側アーティン群 A_Γ の外部自己同型群に対するティーツの代替定理は成立するか？
• RQ3 ほとんどアーベル的パラメータ部分群をもつ純粋に可換な群が、相対的双曲的であるとき、その外部自己同型群に対しティーツの代替定理は成立するか？
• RQ4 自由積や相対的双曲性といった群論的構成に対して、ティーツの代替定理は安定か？

主な発見

• G が有限生成群で、グルーシコ分解 G = G₁⁎…⁎Gₖ⁎F と表されるとき、各 Gᵢ および Out(Gᵢ) がティーツの代替定理を満たす限り、Out(G) に対してもティーツの代替定理が成り立つ。
• この結果により、有限生成自由群の外部自己同型群 Out(F_N) に対するティーツの代替定理の、より短い新しい証明が得られる。
• 右側アーティン群 A_Γ の外部自己同型群 Out(A_Γ) に対しても、定義グラフ Γ に均一性の仮定を課さずにティーツの代替定理が成り立つ。
• G が純粋に可換で、有限個のほとんどアーベル的部分群を相対的双曲的パラメータとしてもつとき、Out(G) に対しティーツの代替定理が成り立つ。
• ほとんどアーベル的群の外部自己同型群は SL_N(ℤ) に線形的に埋め込めるため、ほとんどアーベル的群のクラスに関してティーツの代替定理を満たす。
• Out(G, ℙ) の有限指数部分群は、マッピングクラス群とパラメータ部分群の外部自己同型群の積を含む完全列に適合し、既知の状況への還元を可能にする。